Silindirik Koordinatlarda Kısmi Türev

🎯 Bu Modülde Ne Öğreneceğiz?

Silindirik koordinat dönüşümü $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$ altında üç değişkenli zincir kuralını nasıl uygulayacağımızı, Kartezyen türev operatörlerini silindirik koordinatlarda ifade etmeyi, ve Laplace operatörünün silindirik formunu adım adım türeteceğiz.

1. Dönüşüm İlişkileri ve Zincir Kuralı

Silindirik koordinatlar $(r, \theta, z)$ ile Kartezyen koordinatlar $(x, y, z)$ arasında:

$$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z $$ Silindirik → Kartezyen dönüşüm

Ters dönüşümler:

r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \arctan(y/x),\quad z = z

Üç değişkenli $f(x,y,z)$ fonksiyonu için zincir kuralı:

\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r}

$\partial x/\partial r = \cos\theta$, $\partial y/\partial r = \sin\theta$, $\partial z/\partial r = 0$ olduğundan:

\boxed{\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta}

Benzer şekilde $\theta$'ya göre türev ($r$ ve $z$ sabit):

\frac{\partial f}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta) + \frac{\partial f}{\partial z}\cdot 0 $$ $$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial \theta} = -r\frac{\partial f}{\partial x}\sin\theta + r\frac{\partial f}{\partial y}\cos\theta}

$z$'ye göre türev ise doğrudan korunur:

\boxed{\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}}

2. Ters Dönüşüm: Kartezyen Türevleri Silindirik Cinsinden

Yukarıdaki iki denklemi $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$ için çözersek (2×2 sistem):

\boxed{\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r}\cos\theta - \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r}} $$ $$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial r}\sin\theta + \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r}} $$ $$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}}

💡 Not

$z$ koordinatı bağımsız olduğu için $\partial/\partial z$ operatörü aynen kalır. Silindirik koordinatlar aslında kutupsal koordinatların $z$ ekseni boyunca "uzatılmış" halidir.

3. Laplace Operatörünün Silindirik Formu

Kartezyen Laplace operatörü: $\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$.

Kutupsal koordinatlardaki $\nabla^2_{xy}$ ifadesini koruyup üzerine $\partial^2/\partial z^2$ ekleriz. Sonuç:

$$ \boxed{\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}} $$ Laplace operatörü — silindirik koordinatlar

📌 Kompakt Yazılış

$$\nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$ Bu form özellikle ısı transferi, akışkanlar dinamiği ve elektromanyetik problemlerde sıkça kullanılır.

4. Çözümlü Örnekler

ÖRNEK 1 $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ fonksiyonunun silindirik koordinatlarda Laplace'ını hesaplayın.

Adım 1 — Silindirik forma geçiş: $x^2+y^2 = r^2$ olduğundan $f = r^2 + z^2$.

Adım 2 — Kısmi türevler:

\frac{\partial f}{\partial r} = 2r,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} = 2,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 2

Adım 3 — Laplace formülünü uygula:

\nabla^2 f = 2 + \frac{1}{r}(2r) + 0 + 2 = 2 + 2 + 2 = 6

Doğrulama: Kartezyen koordinatlarda $\partial^2 f/\partial x^2 = 2$, $\partial^2 f/\partial y^2 = 2$, $\partial^2 f/\partial z^2 = 2$, toplam 6. ✓

ÖRNEK 2 $f(r,\theta,z) = r^2 \cos(2\theta) + z^3$ için $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$'yi bulun.

Ters dönüşüm formüllerini kullan:

\frac{\partial f}{\partial r} = 2r\cos(2\theta),\quad \frac{\partial f}{\partial \theta} = -2r^2\sin(2\theta)

\frac{\partial f}{\partial x} = (2r\cos(2\theta))\cos\theta - \left(-2r^2\sin(2\theta)\right)\frac{\sin\theta}{r} = 2r\cos(2\theta)\cos\theta + 2r\sin(2\theta)\sin\theta

$\cos(2\theta)\cos\theta + \sin(2\theta)\sin\theta = \cos(2\theta - \theta) = \cos\theta$ trigonometrik özdeşliği kullanılırsa:

\frac{\partial f}{\partial x} = 2r\cos\theta

Benzer şekilde $\partial f/\partial y = 2r\sin\theta$ bulunur. Bu da Kartezyen koordinatlarda $f = x^2 - y^2 + z^3$ olduğu için $\partial f/\partial x = 2x = 2r\cos\theta$ ile uyumludur.

5. Özet Tablosu

İfade	Silindirik Karşılığı
$\partial f/\partial r$	$(\partial f/\partial x)\cos\theta + (\partial f/\partial y)\sin\theta$
$\partial f/\partial \theta$	$-r(\partial f/\partial x)\sin\theta + r(\partial f/\partial y)\cos\theta$
$\partial f/\partial z$	$\partial f/\partial z$
$\partial f/\partial x$	$(\partial f/\partial r)\cos\theta - (\partial f/\partial \theta)\sin\theta/r$
$\partial f/\partial y$	$(\partial f/\partial r)\sin\theta + (\partial f/\partial \theta)\cos\theta/r$
$\nabla^2 f$	$\partial^2 f/\partial r^2 + (1/r)\partial f/\partial r + (1/r^2)\partial^2 f/\partial \theta^2 + \partial^2 f/\partial z^2$

📌 Özet

▪️ Zincir kuralı: $\partial f/\partial r$ ve $\partial f/\partial \theta$ ifadeleri kutupsal koordinatlarla aynıdır, $z$ eklenir.

▪️ Ters dönüşüm: $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$ için aynı formüller geçerlidir.

▪️ Laplace: Silindirik Laplace = Kutupsal Laplace ($xy$-düzlemi) + $\partial^2/\partial z^2$.

Bir sonraki modülde küresel koordinatlara geçiyoruz.

← Modül 01: Kutupsal Koordinatlar Modül 03: Küresel Koordinatlar →