Kutupsal Koordinatlarda Kısmi Türev

🎯 Bu Modülde Ne Öğreneceğiz?

Kutupsal koordinat dönüşümü $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ altında zincir kuralını nasıl uygulayacağımızı, $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$ türevlerini $r$ ve $\theta$ cinsinden nasıl yazacağımızı, ve Laplace operatörünün $\nabla^2 f$'nin kutupsal formunu adım adım türeteceğiz.

1. Dönüşüm İlişkileri

Kutupsal koordinatlarda Kartezyen değişkenler $r$ ve $\theta$ cinsinden şöyle yazılır:

$$ x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta $$ Kartezyen ↔ Kutupsal temel ilişki

Tersine çevirirsek:

r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)

$f(x,y)$ gibi iki değişkenli bir fonksiyonumuz olsun. Kutupsal koordinatlara geçince $f$, $r$ ve $\theta$'nın bir fonksiyonu haline gelir: $f(x(r,\theta),\, y(r,\theta))$. Bu yüzden $\partial f/\partial r$ veya $\partial f/\partial \theta$ hesaplamak için zincir kuralına ihtiyaç duyarız.

2. Zincir Kuralı ile Kısmi Türevler

2.1 — $\partial f / \partial r$ türevi

$f$, $r$'ye bağlıyken $\theta$ sabit tutulur. $r$'ye göre zincir kuralı:

\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial r}

$x = r\cos\theta$ ve $y = r\sin\theta$'dan $r$'ye göre türevleri alırsak:

\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta

Yerine koyarsak:

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\sin\theta}$$ r'ye göre zincir kuralı

2.2 — $\partial f / \partial \theta$ türevi

Bu sefer $r$ sabit tutulup $\theta$'ya göre türev alınır:

\frac{\partial f}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial \theta}

\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial \theta} = -\frac{\partial f}{\partial x}\,r\sin\theta + \frac{\partial f}{\partial y}\,r\cos\theta}$$ θ'ya göre zincir kuralı

3. Ters Dönüşüm: $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$'yi $r, \theta$ Cinsinden Yazmak

Çoğu zaman tersi de gerekir: $\partial f/\partial r$ ve $\partial f/\partial \theta$ bilindiğinde $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$ nasıl bulunur?

Yukarıdaki iki denklemi $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$ için çözersek:

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r}\cos\theta - \frac{\partial f}{\partial \theta}\,\frac{\sin\theta}{r}}$$ x'e göre kısmi türev — kutupsal cinsinden

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial r}\sin\theta + \frac{\partial f}{\partial \theta}\,\frac{\cos\theta}{r}}$$ y'ye göre kısmi türev — kutupsal cinsinden

💡 Türetme Fikri

İki denklemimiz ve iki bilinmeyenimiz ($\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$) var. Birinci denklemi $\cos\theta$ ile, ikinciyi $\sin\theta$ ile çarpıp toplarsak $\partial f/\partial x$ elde edilir. Birincisi $\sin\theta$, ikincisi $\cos\theta$ ile çarpılıp uygun işaretlerle birleştirilirse $\partial f/\partial y$ çıkar.

4. Laplace Operatörünün Kutupsal Formu

Kartezyen koordinatlarda Laplace operatörü:

\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

Bunu kutupsal forma çevirmek için $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$ operatörlerinin karelerini alıp toplamak gerekir. Türetme uzundur; adımları takip edelim.

$\partial f/\partial x$ operatörünü yaz

$\dfrac{\partial}{\partial x} = \cos\theta\,\dfrac{\partial}{\partial r} - \dfrac{\sin\theta}{r}\,\dfrac{\partial}{\partial \theta}$

$\partial^2 f/\partial x^2$ için operatörü kendisiyle uygula

$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\cos\theta\,\dfrac{\partial}{\partial r} - \dfrac{\sin\theta}{r}\,\dfrac{\partial}{\partial \theta}\right)^2$ — parantezi açarken $\cos\theta$ ve $\sin\theta$'nın da $\theta$'ya bağlı olduğunu unutma!

Aynı işlemi $\partial^2 f/\partial y^2$ için yap

$\dfrac{\partial}{\partial y} = \sin\theta\,\dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{\cos\theta}{r}\,\dfrac{\partial}{\partial \theta}$ operatörü ile aynı adımlar.

İkisini topla: $\nabla^2 f = \partial^2 f/\partial x^2 + \partial^2 f/\partial y^2$

Pek çok terim birbirini iptal eder. Sonuç temiz bir forma ulaşır.

Tüm işlemler yapıldıktan sonra Laplace operatörünün kutupsal formu:

$$\boxed{\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\,\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\,\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}}$$ Laplace operatörü — kutupsal koordinatlar

📌 Alternatif Yazılış

İlk iki terim birleştirilerek daha kompakt yazılabilir: $$\nabla^2 f = \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\,\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\,\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}$$ Bu form özellikle dalga ve ısı denklemlerinde sıkça kullanılır.

5. Çözümlü Örnek

ÖRNEK 1 $f(x,y) = x^2 + y^2$ fonksiyonunu kutupsal koordinatlarda yazın ve $\nabla^2 f$'yi hesaplayın.

Adım 1 — Kutupsal forma geçiş.

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ yerlerine konursa:

f = r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2

Adım 2 — Kısmi türevleri hesapla.

\frac{\partial f}{\partial r} = 2r, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} = 2, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0

Adım 3 — Laplace operatörünü uygula.

\nabla^2 f = 2 + \frac{1}{r}\cdot 2r + \frac{1}{r^2}\cdot 0 = 2 + 2 = 4

Doğrulama: Kartezyen koordinatlarda $f = x^2 + y^2$ için $\partial^2 f/\partial x^2 = 2$, $\partial^2 f/\partial y^2 = 2$, dolayısıyla $\nabla^2 f = 4$. ✓

ÖRNEK 2 $f = r^2\sin(2\theta)$ fonksiyonu için $\partial f/\partial x$'i bulun.

Ters dönüşüm formülünü kullan:

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r}\cos\theta - \frac{\partial f}{\partial \theta}\,\frac{\sin\theta}{r}

\frac{\partial f}{\partial r} = 2r\sin(2\theta), \qquad \frac{\partial f}{\partial \theta} = 2r^2\cos(2\theta)

\frac{\partial f}{\partial x} = 2r\sin(2\theta)\cos\theta - 2r^2\cos(2\theta)\,\frac{\sin\theta}{r}$$ $$= 2r\sin(2\theta)\cos\theta - 2r\cos(2\theta)\sin\theta

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ kullanılırsa:

= 4r\sin\theta\cos^2\theta - 2r\cos(2\theta)\sin\theta = 2r\sin\theta\bigl[2\cos^2\theta - \cos(2\theta)\bigr]

$\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ yerine konursa sonuç $2r\sin\theta$ olarak sadeleşir.

6. Özet Tablosu

İfade	Kutupsal Karşılığı
$\partial f/\partial r$	$(\partial f/\partial x)\cos\theta + (\partial f/\partial y)\sin\theta$
$\partial f/\partial \theta$	$-(\partial f/\partial x)\,r\sin\theta + (\partial f/\partial y)\,r\cos\theta$
$\partial f/\partial x$	$(\partial f/\partial r)\cos\theta - (\partial f/\partial \theta)\sin\theta/r$
$\partial f/\partial y$	$(\partial f/\partial r)\sin\theta + (\partial f/\partial \theta)\cos\theta/r$
$\nabla^2 f$	$\partial^2 f/\partial r^2 + (1/r)\,\partial f/\partial r + (1/r^2)\,\partial^2 f/\partial \theta^2$

📌 Özet

▪️ Zincir kuralı: $\partial f/\partial r$ ve $\partial f/\partial \theta$ türevleri, $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$'nin $\cos\theta$/$\sin\theta$ ağırlıklı bileşimleridir.

▪️ Ters dönüşüm: $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$, $\partial f/\partial r$ ve $(\partial f/\partial \theta)/r$ bileşimlerinden elde edilir.

▪️ Laplace: $\nabla^2 f = \partial^2 f/\partial r^2 + (1/r)\,\partial f/\partial r + (1/r^2)\,\partial^2 f/\partial \theta^2$

Bir sonraki adımda $z$ değişkeni eklenerek silindirik koordinatlara geçeceğiz.

← Ana Sayfa Modül 02: Silindirik Koordinatlar →