🎯 Bu Modülde Ne Öğreneceğiz?
Küresel koordinat dönüşümü $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$ altında
üç değişkenli zincir kuralını nasıl uygulayacağımızı, Kartezyen türev operatörlerini
küresel koordinatlarda ifade etmeyi ve Laplace operatörünün küresel formunu adım adım türeteceğiz.
1. Küresel Koordinat Sistemi
Küresel koordinatlar üç parametreyle bir noktayı belirler:
ρ
Radyal uzaklık $\rho \geq 0$
Orijine olan uzaklık. $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
φ
Kutup (eğim) açısı $0 \leq \phi \leq \pi$
$z$ ekseniyle yapılan açı. $\phi = 0$ kuzey kutbu, $\phi = \pi$ güney kutbu.
θ
Azimut açısı $0 \leq \theta < 2\pi$
$xy$-düzlemindeki enlem açısı. Silindirik koordinatlardaki $\theta$ ile aynıdır.
2. Dönüşüm İlişkileri ve Zincir Kuralı
Küresel koordinatlar $(\rho, \phi, \theta)$ ile Kartezyen koordinatlar $(x, y, z)$ arasında:
$$ x = \rho\sin\phi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\phi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\phi $$
Küresel → Kartezyen dönüşüm
Ters dönüşümler:
$$ \rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \phi = \arccos\!\left(\frac{z}{\rho}\right),\quad \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) $$
$f(x,y,z)$ için zincir kuralı ile $\rho$'ya göre kısmi türev:
$$ \frac{\partial f}{\partial \rho} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \rho} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \rho} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \rho} $$
$\partial x/\partial \rho = \sin\phi\cos\theta$, $\partial y/\partial \rho = \sin\phi\sin\theta$, $\partial z/\partial \rho = \cos\phi$ olduğundan:
$$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial \rho} = \sin\phi\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + \sin\phi\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial y} + \cos\phi\,\frac{\partial f}{\partial z}} $$
$\phi$'ye göre kısmi türev ($\rho$ ve $\theta$ sabit):
$$ \frac{\partial f}{\partial \phi} = \rho\cos\phi\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + \rho\cos\phi\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial y} - \rho\sin\phi\,\frac{\partial f}{\partial z} $$
∂x/∂φ = ρcos φ cos θ, ∂y/∂φ = ρcos φ sin θ, ∂z/∂φ = −ρsin φ
$$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial \phi} = \rho\!\left(\cos\phi\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + \cos\phi\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial y} - \sin\phi\,\frac{\partial f}{\partial z}\right)} $$
$\theta$'ya göre kısmi türev ($\rho$ ve $\phi$ sabit):
$$ \frac{\partial f}{\partial \theta} = -\rho\sin\phi\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + \rho\sin\phi\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial y} $$
$$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial \theta} = \rho\sin\phi\!\left(-\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + \cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial y}\right)} $$
3. Ters Dönüşüm: Kartezyen Türevleri Küresel Cinsinden
Yukarıdaki üç denklemi $\partial f/\partial x$, $\partial f/\partial y$, $\partial f/\partial z$ için çözersek (3×3 sistem):
$$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial x} = \sin\phi\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial \rho} + \frac{\cos\phi\cos\theta}{\rho}\,\frac{\partial f}{\partial \phi} - \frac{\sin\theta}{\rho\sin\phi}\,\frac{\partial f}{\partial \theta}} $$
$$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial y} = \sin\phi\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial \rho} + \frac{\cos\phi\sin\theta}{\rho}\,\frac{\partial f}{\partial \phi} + \frac{\cos\theta}{\rho\sin\phi}\,\frac{\partial f}{\partial \theta}} $$
$$ \boxed{\frac{\partial f}{\partial z} = \cos\phi\,\frac{\partial f}{\partial \rho} - \frac{\sin\phi}{\rho}\,\frac{\partial f}{\partial \phi}} $$
💡 Not — Özel Durum: z ekseninde
$\sin\phi = 0$ olduğunda (yani $\phi=0$ veya $\phi=\pi$), $\theta$'ya göre türevleri içeren terimlerde $1/\sin\phi$ belirsizliği oluşur.
Bu noktalarda küresel koordinatlar tekildir; Kartezyen koordinatlara dönmek daha güvenlidir.
4. Gradyan Operatörü — Küresel Koordinatlar
Küresel koordinatlarda birim vektörler ortonormal fakat konuma bağlıdır. Bu nedenle gradyan;
$$ \boxed{\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\,\hat{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\,\hat{e}_\phi + \frac{1}{\rho\sin\phi}\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\hat{e}_\theta} $$
Gradyan — küresel koordinatlar
📌 Metrik Katsayılar (Scale Factors)
Küresel koordinatlarda metrik katsayılar $h_\rho = 1$, $h_\phi = \rho$, $h_\theta = \rho\sin\phi$ şeklindedir.
Gradyandaki $1/\rho$ ve $1/(\rho\sin\phi)$ çarpanları doğrudan bu katsayıların tersi olarak ortaya çıkar.
5. Laplace Operatörünün Küresel Formu
Kartezyen Laplace operatörü $\nabla^2 f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}$'yi küresel koordinatlara dönüştürürsek:
$$ \boxed{\nabla^2 f = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho^2\frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2\sin\phi}\frac{\partial}{\partial \phi}\!\left(\sin\phi\,\frac{\partial f}{\partial \phi}\right) + \frac{1}{\rho^2\sin^2\!\phi}\,\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}} $$
Laplace operatörü — küresel koordinatlar
Açık türev formunda:
$$ \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial \rho^2} + \frac{2}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\cos\phi}{\rho^2\sin\phi}\frac{\partial f}{\partial \phi} + \frac{1}{\rho^2\sin^2\!\phi}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} $$
📌 Silindirik ile Karşılaştırma
Silindirik Laplace'ta $\partial^2 f/\partial z^2$ terimi sabit katsayılıyken,
küresel formda $\phi$'ye bağlı $\sin\phi$ katsayısı operatörü öz-eşlenik kılar (self-adjoint).
Bu yapı kuantum mekaniği ve dalga denklemlerinde kritik öneme sahiptir.
6. Türetiş — Adım Adım
1
$\partial f/\partial x$'i küresel operatör olarak yaz
Ters dönüşüm formülündeki $\partial/\partial x$ ifadesini oluştur ve $(\partial/\partial x)^2$ uygula.
2
$\partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 + \partial^2/\partial z^2$ topla
Çarpraz terimlerin büyük çoğunluğu trigonometrik özdeşliklerle ($\sin^2+\cos^2=1$ vb.) sadeleşir.
3
Kompakt forma topla
Geri kalan terimler $\frac{1}{\rho^2}\partial_\rho(\rho^2 \partial_\rho f)$ ve $\frac{1}{\rho^2\sin\phi}\partial_\phi(\sin\phi\,\partial_\phi f)$ şeklinde öz-eşlenik (divergence) formuna getirilir.
7. Çözümlü Örnekler
Adım 1 — Küresel forma geçiş: $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$ olduğundan $f = \rho^2$.
Adım 2 — Kısmi türevler:
$$\frac{\partial f}{\partial \rho} = 2\rho,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial \rho^2} = 2,\quad \frac{\partial f}{\partial \phi} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial \theta} = 0$$
Adım 3 — Laplace formülünü uygula:
$$\nabla^2 f = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\left(\rho^2 \cdot 2\rho\right) = \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(2\rho^3\right) = \frac{1}{\rho^2}\cdot 6\rho^2 = 6$$
Doğrulama: Kartezyen koordinatlarda $\partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 + \partial^2/\partial z^2 = 2+2+2 = 6$. ✓
Sadece $\rho$'ya bağlı olduğundan $\phi$ ve $\theta$ türevleri sıfır:
$$\frac{\partial f}{\partial \rho} = \frac{1}{\rho},\quad \rho^2\frac{\partial f}{\partial \rho} = \rho$$
$$\nabla^2 f = \frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}(\rho) = \frac{1}{\rho^2} \cdot 1 = \frac{1}{\rho^2}$$
⚠️ Karşılaştırma — Silindirik ile
Silindirik koordinatlarda $f(r)=\ln r$ için $\nabla^2 f = 0$ (harmonik fonksiyon) elde edilmişti.
Küresel koordinatlarda $f(\rho)=\ln\rho$ harmonik değildir; harmonik olan $g(\rho)=1/\rho$'dur ($\rho \neq 0$ için).
Ters dönüşüm formülünü kullan:
$$\frac{\partial f}{\partial \rho} = 2\rho\cos\phi,\quad \frac{\partial f}{\partial \phi} = -\rho^2\sin\phi,\quad \frac{\partial f}{\partial \theta} = 0$$
$$\frac{\partial f}{\partial z} = \cos\phi\cdot(2\rho\cos\phi) - \frac{\sin\phi}{\rho}\cdot(-\rho^2\sin\phi) = 2\rho\cos^2\phi + \rho\sin^2\phi$$
$$\frac{\partial f}{\partial z} = \rho(2\cos^2\phi + \sin^2\phi) = \rho(\cos^2\phi + 1) = \rho\cos^2\phi + \rho$$
Doğrulama: $f = \rho^2\cos\phi = \rho\cdot(\rho\cos\phi) = \rho\cdot z$. Öte yandan $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ olduğundan $f = z\sqrt{x^2+y^2+z^2}$; Kartezyen türev ile kontrol edin.
8. Özet Tablosu
| İfade |
Küresel Karşılığı |
| $\partial f/\partial \rho$ |
$\sin\phi\cos\theta\,f_x + \sin\phi\sin\theta\,f_y + \cos\phi\,f_z$ |
| $\partial f/\partial \phi$ |
$\rho(\cos\phi\cos\theta\,f_x + \cos\phi\sin\theta\,f_y - \sin\phi\,f_z)$ |
| $\partial f/\partial \theta$ |
$\rho\sin\phi(-\sin\theta\,f_x + \cos\theta\,f_y)$ |
| $\partial f/\partial x$ |
$\sin\phi\cos\theta\,f_\rho + \frac{\cos\phi\cos\theta}{\rho}\,f_\phi - \frac{\sin\theta}{\rho\sin\phi}\,f_\theta$ |
| $\partial f/\partial y$ |
$\sin\phi\sin\theta\,f_\rho + \frac{\cos\phi\sin\theta}{\rho}\,f_\phi + \frac{\cos\theta}{\rho\sin\phi}\,f_\theta$ |
| $\partial f/\partial z$ |
$\cos\phi\,f_\rho - \frac{\sin\phi}{\rho}\,f_\phi$ |
| $\nabla f$ |
$f_\rho\,\hat{e}_\rho + \dfrac{1}{\rho}f_\phi\,\hat{e}_\phi + \dfrac{1}{\rho\sin\phi}f_\theta\,\hat{e}_\theta$ |
| $\nabla^2 f$ |
$\dfrac{1}{\rho^2}\partial_\rho(\rho^2 f_\rho) + \dfrac{1}{\rho^2\sin\phi}\partial_\phi(\sin\phi\,f_\phi) + \dfrac{1}{\rho^2\sin^2\!\phi}f_{\theta\theta}$ |
📌 Özet
▪️ Küresel koordinatlar: $\rho$ (uzaklık), $\phi$ (kutup açısı), $\theta$ (azimut açısı).
▪️ Dönüşüm: $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$.
▪️ Zincir kuralı: her üç yöne bağlı trigonometrik katsayılar çıkar.
▪️ Laplace: kompakt (öz-eşlenik) form $\frac{1}{\rho^2}\partial_\rho(\rho^2\partial_\rho f) + \cdots$ şeklinde yazılır.
▪️ Harmonik: $g(\rho) = 1/\rho$ ($\rho \neq 0$) küresel koordinatlardaki temel harmonik fonksiyondur.