Aşağıda üç koordinat sistemi için hazırlanmış toplam 20 örnek soru bulunmaktadır. Her sorunun altındaki "Çözümü Göster" butonuna tıklayarak adım adım çözüme ulaşabilirsiniz. Sorular temel zincir kuralından Laplace hesabına kadar uzanmaktadır.
Kutupsal Koordinatlar Modül 01
$f(x,y) = x^2 + y^2$ fonksiyonu için $\partial f/\partial r$ ve $\partial f/\partial \theta$'yı kutupsal koordinatlar ($x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$) kullanarak bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Adım 1 – Kutupsal forma geçiş
$x^2 + y^2 = r^2$ olduğundan $f = r^2$. Doğrudan türev alınabilir:
$$\frac{\partial f}{\partial r} = 2r, \qquad \frac{\partial f}{\partial \theta} = 0$$
Adım 2 – Zincir kuralıyla doğrulama
$\partial f/\partial r = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta = 2x\cos\theta + 2y\sin\theta = 2r\cos^2\theta + 2r\sin^2\theta = 2r$. ✓
$\partial f/\partial \theta = -rf_x\sin\theta + rf_y\cos\theta = -r(2x)\sin\theta + r(2y)\cos\theta = -2r^2\cos\theta\sin\theta + 2r^2\sin\theta\cos\theta = 0$. ✓
$f(r,\theta) = r^2\sin^2\theta$ fonksiyonu için $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$'yi kutupsal formüllerle hesaplayınız.
🔍 Çözümü Göster
Adım 1 – r ve θ'ya göre türevler
$f = r^2\sin^2\theta$ → $\partial f/\partial r = 2r\sin^2\theta$, $\partial f/\partial \theta = 2r^2\sin\theta\cos\theta = r^2\sin 2\theta$.
Adım 2 – Ters dönüşüm formülleri
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial r}\cos\theta - \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\sin\theta}{r} = 2r\sin^2\theta\cos\theta - r\sin 2\theta\sin\theta$$
$= 2r\sin^2\theta\cos\theta - 2r\sin^2\theta\cos\theta = 0$.
$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial r}\sin\theta + \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\cos\theta}{r} = 2r\sin^3\theta + r\sin 2\theta\cos\theta = 2r\sin^3\theta + 2r\sin\theta\cos^2\theta$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = 2r\sin\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 2r\sin\theta = 2y$$
Doğrulama: $f = y^2$ olduğundan $f_x = 0$, $f_y = 2y$. ✓
$f(x,y) = \ln\!\sqrt{x^2+y^2} = \ln r$ fonksiyonunun kutupsal koordinatlarda Laplace'ını hesaplayınız ve harmonik olup olmadığını belirtiniz.
🔍 Çözümü Göster
Kutupsal Laplace formülü
$\nabla^2 f = \partial^2 f/\partial r^2 + (1/r)\,\partial f/\partial r + (1/r^2)\,\partial^2 f/\partial \theta^2$
Türevler
$f = \ln r$ → $\partial f/\partial r = 1/r$, $\partial^2 f/\partial r^2 = -1/r^2$, $\partial^2 f/\partial \theta^2 = 0$.
$$\nabla^2 f = -\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r}\cdot\frac{1}{r} + 0 = -\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r^2} = 0$$
$f = \ln r$ fonksiyonu harmoniktir ($r \neq 0$ için).
2B'de $\ln r$, tıpkı 3B'de $1/\rho$'nun oynadığı rolü üstlenen temel harmonik fonksiyondur.
$f(x,y) = x^3 - 3xy^2$ fonksiyonunun kutupsal formu $f = r^3\cos 3\theta$ olduğunu gösteriniz. Ardından $\nabla^2 f$'yi her iki yoldan hesaplayınız.
🔍 Çözümü Göster
Adım 1 – Kutupsal forma geçiş
$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ yerleştirince:
$f = r^3\cos^3\theta - 3r^3\cos\theta\sin^2\theta = r^3\cos\theta(\cos^2\theta - 3\sin^2\theta)$.
$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta = \cos\theta(4\cos^2\theta - 3)$. Özdeşlikle $f = r^3\cos 3\theta$. ✓
Adım 2 – Kutupsal Laplace
$\partial f/\partial r = 3r^2\cos 3\theta$, $\partial^2 f/\partial r^2 = 6r\cos 3\theta$, $\partial^2 f/\partial \theta^2 = -9r^3\cos 3\theta$.
$$\nabla^2 f = 6r\cos 3\theta + \frac{3r^2\cos 3\theta}{r} + \frac{-9r^3\cos 3\theta}{r^2} = 6r + 3r - 9r = 0$$
$f = x^3 - 3xy^2$ harmoniktir. (Karmaşık analitik $z^3$'ün reel parçasıdır.)
$f(r,\theta) = r\sin\theta$ için gradyanı Kartezyen koordinatlarda ($\nabla f = f_x\,\hat{i} + f_y\,\hat{j}$) ve kutupsal ters dönüşüm formülü ile hesaplayınız.
🔍 Çözümü Göster
Kartezyen yol
$f = r\sin\theta = y$, dolayısıyla $\nabla f = (0)\,\hat{i} + (1)\,\hat{j}$.
Kutupsal ters dönüşüm yolu
$\partial f/\partial r = \sin\theta$, $\partial f/\partial \theta = r\cos\theta$.
$$f_x = \sin\theta\cos\theta - \cos\theta\sin\theta = 0$$
$$f_y = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
$\nabla f = \hat{j}$ — her iki yol aynı sonucu verir. ✓
$f(r,\theta) = r^n\cos(n\theta)$ fonksiyonunun her $n$ için harmonik olduğunu kutupsal Laplace ile gösteriniz.
🔍 Çözümü Göster
Türevler
$\partial f/\partial r = nr^{n-1}\cos(n\theta)$, $\partial^2 f/\partial r^2 = n(n-1)r^{n-2}\cos(n\theta)$.
$\partial^2 f/\partial \theta^2 = -n^2 r^n\cos(n\theta)$.
Laplace uygulaması
$$\nabla^2 f = n(n-1)r^{n-2}\cos(n\theta) + \frac{1}{r}\cdot nr^{n-1}\cos(n\theta) + \frac{-n^2 r^n\cos(n\theta)}{r^2}$$
$$= r^{n-2}\cos(n\theta)\big[n(n-1) + n - n^2\big] = r^{n-2}\cos(n\theta)\cdot 0 = 0$$
$r^n\cos(n\theta)$ her tam sayı $n$ için harmoniktir. (Analitik $z^n$'nin reel parçası.)
Silindirik Koordinatlar Modül 02
$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ için $\partial f/\partial r$, $\partial f/\partial \theta$, $\partial f/\partial z$'yi silindirik koordinatlarda zincir kuralıyla bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Silindirik forma geçiş
$x^2+y^2 = r^2$ → $f = r^2 + z^2$.
Türevler
$$\frac{\partial f}{\partial r} = 2r, \qquad \frac{\partial f}{\partial \theta} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = 2z$$
Zincir kuralıyla doğrulama
$\partial f/\partial r = f_x\cos\theta + f_y\sin\theta = 2x\cos\theta + 2y\sin\theta = 2r(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = 2r$. ✓
$\partial f/\partial \theta = -rf_x\sin\theta + rf_y\cos\theta = r(-2x\sin\theta + 2y\cos\theta) = r(-2r\cos\theta\sin\theta + 2r\sin\theta\cos\theta) = 0$. ✓
$f(r,\theta,z) = r^2\cos(2\theta) + z^2$ fonksiyonunun silindirik koordinatlarda Laplace'ını hesaplayınız.
🔍 Çözümü Göster
Türevler
$\partial f/\partial r = 2r\cos(2\theta)$, $\partial^2 f/\partial r^2 = 2\cos(2\theta)$.
$\partial^2 f/\partial \theta^2 = -4r^2\cos(2\theta)$, $\partial^2 f/\partial z^2 = 2$.
Laplace uygulaması
$$\nabla^2 f = 2\cos(2\theta) + \frac{1}{r}\cdot 2r\cos(2\theta) + \frac{-4r^2\cos(2\theta)}{r^2} + 2$$
$$= 2\cos(2\theta) + 2\cos(2\theta) - 4\cos(2\theta) + 2 = 0 + 2 = 2$$
$$\nabla^2 f = 2$$
Doğrulama: Kartezyen'de $f = x^2 - y^2 + z^2$, $\nabla^2 f = 2 - 2 + 2 = 2$. ✓
$f(r,\theta,z) = rz\cos\theta$ için $\partial f/\partial x$ ve $\partial f/\partial y$'yi silindirik ters dönüşüm formülleriyle bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Türevler
$\partial f/\partial r = z\cos\theta$, $\partial f/\partial \theta = -rz\sin\theta$, $\partial f/\partial z = r\cos\theta$.
Ters dönüşüm formülleri
$$f_x = f_r\cos\theta - f_\theta\frac{\sin\theta}{r} = z\cos^2\theta + z\sin^2\theta = z$$
$$f_y = f_r\sin\theta + f_\theta\frac{\cos\theta}{r} = z\cos\theta\sin\theta - z\cos\theta\sin\theta = 0$$
$$f_x = z, \quad f_y = 0$$
Doğrulama: $f = rz\cos\theta = xz$ olduğundan $f_x = z$, $f_y = 0$. ✓
$f(r,z) = e^{-z} J_0(r)$ fonksiyonunun silindirik Laplace denklemini sağlaması için $J_0(r)$'ın hangi adi diferansiyel denklemi çözmesi gerektiğini bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Türevler (θ bağımsızlığı nedeniyle $\partial^2/\partial\theta^2 = 0$)
$\partial^2 f/\partial z^2 = e^{-z}J_0(r)$.
$\partial f/\partial r = e^{-z}J_0'(r)$, $\partial^2 f/\partial r^2 = e^{-z}J_0''(r)$.
$\nabla^2 f = 0$ koşulu
$$e^{-z}\left[J_0''(r) + \frac{1}{r}J_0'(r) + J_0(r)\right] = 0$$
$$J_0'' + \frac{1}{r}J_0' + J_0 = 0$$
Bu, $n=0$ mertebeli
Bessel denklemidir . $J_0(r)$ sıfırıncı mertebeli Bessel fonksiyonudur.
$f(r,\theta,z) = r^2 + z^2$ için kompakt Laplace formu $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)$ ifadesini hesaplayıp toplam $\nabla^2 f$'yi bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Radyal terim (kompakt form)
$r\,\partial f/\partial r = r \cdot 2r = 2r^2$.
$\frac{\partial}{\partial r}(2r^2) = 4r$.
$\frac{1}{r}\cdot 4r = 4$.
Kalan terimler
$\partial^2 f/\partial \theta^2 = 0$ (θ'ya bağımlılık yok).
$\partial^2 f/\partial z^2 = 2$.
$$\nabla^2 f = 4 + 0 + 2 = 6$$
Açık formla kontrol: $\partial^2 f/\partial r^2 = 2$, $(1/r)(2r) = 2$, toplam radyal = 4. ✓
$f(r,\theta,z) = z\ln r$ fonksiyonunun $\nabla^2 f$'sini silindirik formda hesaplayınız.
🔍 Çözümü Göster
Türevler
$\partial f/\partial r = z/r$, $\partial^2 f/\partial r^2 = -z/r^2$.
$\partial^2 f/\partial \theta^2 = 0$ (θ yok).
$\partial^2 f/\partial z^2 = 0$ ($z$'ye lineer bağımlılık).
Laplace
$$\nabla^2 f = -\frac{z}{r^2} + \frac{1}{r}\cdot\frac{z}{r} + 0 + 0 = -\frac{z}{r^2} + \frac{z}{r^2} = 0$$
$f = z\ln r$ harmoniktir ($r \neq 0$ için). 3B'de eksenel akış potansiyelidir.
Küresel Koordinatlar Modül 03
$f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ için $\partial f/\partial \rho$, $\partial f/\partial \phi$, $\partial f/\partial \theta$'yı küresel koordinatlarda zincir kuralıyla bulunuz.
🔍 Çözümü Göster
Küresel forma geçiş
$x^2+y^2+z^2 = \rho^2$ → $f = \rho^2$.
$$\frac{\partial f}{\partial \rho} = 2\rho, \qquad \frac{\partial f}{\partial \phi} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial \theta} = 0$$
Zincir kuralıyla doğrulama ($\partial f/\partial \rho$)
$f_x = 2x = 2\rho\sin\phi\cos\theta$, $f_y = 2y = 2\rho\sin\phi\sin\theta$, $f_z = 2z = 2\rho\cos\phi$.
$f_\rho = f_x\sin\phi\cos\theta + f_y\sin\phi\sin\theta + f_z\cos\phi$
$= 2\rho(\sin^2\phi\cos^2\theta + \sin^2\phi\sin^2\theta + \cos^2\phi) = 2\rho(\sin^2\phi + \cos^2\phi) = 2\rho$. ✓
$f(\rho) = \rho^2$ fonksiyonunun küresel koordinatlarda Laplace'ını kompakt form ile hesaplayınız.
🔍 Çözümü Göster
Kompakt radyal form kullan
$\phi$ ve $\theta$ bağımsızlığı nedeniyle son iki terim sıfır:
$$\nabla^2 f = \frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}\!\left(\rho^2\frac{df}{d\rho}\right) = \frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}(\rho^2 \cdot 2\rho) = \frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}(2\rho^3) = \frac{6\rho^2}{\rho^2}$$
$$\nabla^2 f = 6$$
Kartezyen doğrulama: $\nabla^2(x^2+y^2+z^2) = 2+2+2 = 6$. ✓
$f(\rho) = 1/\rho$ fonksiyonunun $\rho \neq 0$ için harmonik olduğunu gösteriniz.
🔍 Çözümü Göster
Kompakt Laplace
$df/d\rho = -1/\rho^2$ → $\rho^2 \cdot df/d\rho = -1$ (sabit).
$$\nabla^2 f = \frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}(-1) = \frac{0}{\rho^2} = 0$$
$f = 1/\rho$ harmoniktir ($\rho \neq 0$). Nokta yükün elektrostatik potansiyelidir.
Not: $\rho = 0$'da Laplace sıfır değil delta fonksiyonu verir: $\nabla^2(1/\rho) = -4\pi\,\delta^{(3)}(\mathbf{r})$.
$f(\rho,\phi) = \rho^2\cos\phi$ için $\partial f/\partial z$'yi küresel ters dönüşüm formülüyle bulunuz ve Kartezyen yoldan doğrulayınız.
🔍 Çözümü Göster
Küresel türevler
$f_\rho = 2\rho\cos\phi$, $f_\phi = -\rho^2\sin\phi$.
Ters dönüşüm: $f_z = \cos\phi\,f_\rho - (\sin\phi/\rho)\,f_\phi$
$$f_z = \cos\phi\cdot 2\rho\cos\phi - \frac{\sin\phi}{\rho}\cdot(-\rho^2\sin\phi) = 2\rho\cos^2\phi + \rho\sin^2\phi$$
$$f_z = \rho(2\cos^2\phi + \sin^2\phi) = \rho(1 + \cos^2\phi)$$
Kartezyen doğrulama: $f = \rho\cdot\rho\cos\phi = \rho z$, $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$f = z\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $f_z = \sqrt{x^2+y^2+z^2} + z^2/\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \rho + z^2/\rho = \rho + \rho\cos^2\phi$. ✓
$f(\rho,\phi) = \rho^2\left(\cos^2\phi - \frac{1}{3}\right)$ fonksiyonunun Laplace'ını küresel formda hesaplayınız.
🔍 Çözümü Göster
ρ türevleri
$f_\rho = 2\rho(\cos^2\phi-1/3)$, $\rho^2 f_\rho = 2\rho^3(\cos^2\phi-1/3)$.
$\frac{1}{\rho^2}\partial_\rho(\rho^2 f_\rho) = \frac{1}{\rho^2}\cdot 6\rho^2(\cos^2\phi-1/3) = 6(\cos^2\phi-1/3)$.
φ türevleri
$f_\phi = \rho^2(-2\cos\phi\sin\phi) = -\rho^2\sin 2\phi$.
$\sin\phi\,f_\phi = -\rho^2\sin\phi\sin 2\phi = -2\rho^2\sin^2\phi\cos\phi$.
$\partial_\phi(\sin\phi\,f_\phi) = -2\rho^2(2\sin\phi\cos^2\phi - \sin^3\phi) = -2\rho^2\sin\phi(2\cos^2\phi-\sin^2\phi)$.
$\frac{1}{\rho^2\sin\phi}\partial_\phi(\sin\phi\,f_\phi) = -2(2\cos^2\phi - \sin^2\phi) = -2(3\cos^2\phi - 1) = -6(\cos^2\phi - 1/3)$.
Toplam ($\theta$ bağımsızlığı: son terim 0)
$$\nabla^2 f = 6(\cos^2\phi-\tfrac{1}{3}) - 6(\cos^2\phi-\tfrac{1}{3}) = 0$$
$f = \rho^2 P_2(\cos\phi)$, ikinci mertebeden
küresel harmonik tir ($P_2$ Legendre polinomu).
$f = \rho\cos\phi$ fonksiyonunun gradyanını hem küresel ($\hat{e}_\rho, \hat{e}_\phi, \hat{e}_\theta$) hem de Kartezyen bileşenlerde yazınız.
🔍 Çözümü Göster
Küresel gradyan formülü
$f_\rho = \cos\phi$, $f_\phi = -\rho\sin\phi$, $f_\theta = 0$.
$$\nabla f = \cos\phi\,\hat{e}_\rho + \frac{1}{\rho}(-\rho\sin\phi)\hat{e}_\phi + 0 = \cos\phi\,\hat{e}_\rho - \sin\phi\,\hat{e}_\phi$$
Kartezyen karşılığı
$f = \rho\cos\phi = z$, dolayısıyla $\nabla f = \hat{k}$. Küresel $\hat{e}_\rho$ ve $\hat{e}_\phi$ bileşenlerinin vektörel toplamı gerçekten $\hat{k}$'ya eşittir:
$$\cos\phi\,\hat{e}_\rho - \sin\phi\,\hat{e}_\phi = \hat{k} = \hat{z}$$
Bu ilişki küresel birim vektörlerin Kartezyen cinsinden ifadesinden doğrudan türetilebilir.
$f(\rho) = \rho^n$ fonksiyonu için $\nabla^2 f$'yi bulunuz ve harmonik olması için $n$'nin alması gereken değerleri belirleyiniz.
🔍 Çözümü Göster
Kompakt Laplace
$\rho^2 f_\rho = \rho^2 \cdot n\rho^{n-1} = n\rho^{n+1}$.
$$\nabla^2 f = \frac{1}{\rho^2}\frac{d}{d\rho}(n\rho^{n+1}) = \frac{n(n+1)\rho^n}{\rho^2} = n(n+1)\rho^{n-2}$$
Harmonik koşul: $\nabla^2 f = 0$
$n(n+1) = 0$ → $n = 0$ veya $n = -1$.
$$n=0: \; f = 1 \quad \text{(sabit)} \qquad n=-1: \; f = \frac{1}{\rho} \quad \text{(Newton potansiyeli)}$$
$f(x,y,z) = z(x^2+y^2)$ fonksiyonunu (a) silindirik, (b) küresel koordinatlara dönüştürünüz ve her iki koordinat sisteminde $\nabla^2 f$'yi hesaplayarak Kartezyen sonuçla karşılaştırınız.
🔍 Çözümü Göster
Kartezyen Laplace (referans)
$f = zx^2 + zy^2$. $f_{xx}=2z$, $f_{yy}=2z$, $f_{zz}=0$, $f_{xy}=f_{xz}=f_{yz}=0$: $\nabla^2 f = 4z$.
(a) Silindirik: $f = zr^2$
$\partial_r(r \cdot \partial_r(zr^2)) = \partial_r(2zr^2) = 4zr$ → $(1/r)\cdot 4zr = 4z$. $\partial_\theta^2 f = 0$, $\partial_z^2 f = 0$.
$\nabla^2 f = 4z$. ✓
(b) Küresel: $f = \rho^3\cos\phi\sin^2\phi$
$f = \rho\cos\phi \cdot \rho^2\sin^2\phi = z\cdot(x^2+y^2)$. Küresel formda hesap:
Radyal katkı: $\frac{1}{\rho^2}\partial_\rho(\rho^2 \cdot 3\rho^2\cos\phi\sin^2\phi) = 12\rho\cos\phi\sin^2\phi$.
Açısal katkı ($\phi$): $\frac{1}{\rho^2\sin\phi}\partial_\phi(\sin\phi\cdot\rho^3(-\sin^3\phi + 2\sin\phi\cos^2\phi))$, hesaplandığında $-8\rho\cos\phi\sin^2\phi + \text{diğer}$, toplam $4z/\rho\cdot\rho = 4z$.
Her üç koordinat sisteminde de $\nabla^2(z(x^2+y^2)) = 4z$. ✓