Bu sayfada yansıma (reflection) ve kesme (shear) dönüşümlerini öğreneceğiz. 2 boyutlu ve 3 boyutlu uzayda eksenlere göre yansıma, orijine göre yansıma, x ve y yönünde kesme matrisleri ve detaylı örnekler anlatılacaktır.
Yansıma dönüşümü, bir noktayı veya nesneyi belirli bir eksen veya düzlem etrafında aynalar. Yansıma, nesnenin şeklini ve boyutunu korur, ancak yönünü değiştirir.
▪️ Determinant: $\det(R_{ref}) = -1$ (yön değiştirir)
▪️ Norm Koruma: $\|R_{ref} v\| = \|v\|$ (uzunluk değişmez)
▪️ Ters Dönüşüm: Yansımanın tersi kendisidir: $R_{ref}^{-1} = R_{ref}$
▪️ Ortogonal: $R_{ref}^T R_{ref} = I$
Bir noktayı x eksenine göre yansıtır (y koordinatı işaret değiştirir):
Uygulama: $(x, y) \rightarrow (x, -y)$
Bir noktayı y eksenine göre yansıtır (x koordinatı işaret değiştirir):
Uygulama: $(x, y) \rightarrow (-x, y)$
Bir noktayı orijine göre yansıtır (her iki koordinat da işaret değiştirir):
Uygulama: $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$
Bir noktayı $y = x$ doğrusuna göre yansıtır (x ve y yer değiştirir):
Uygulama: $(x, y) \rightarrow (y, x)$
$P = (2, 3)$ noktasını farklı eksenlere göre yansıtalım:
| Yansıma Ekseni | Sonuç |
|---|---|
| x ekseni | $(2, -3)$ |
| y ekseni | $(-2, 3)$ |
| Orijin | $(-2, -3)$ |
| $y = x$ doğrusu | $(3, 2)$ |
3 boyutlu uzayda yansıma, düzlemlere göre yapılır.
Uygulama: $(x, y, z) \rightarrow (x, y, -z)$
Uygulama: $(x, y, z) \rightarrow (x, -y, z)$
Uygulama: $(x, y, z) \rightarrow (-x, y, z)$
Kesme dönüşümü, bir nesneyi bir eksen boyunca kaydırarak deforme eder. Nesnenin alanı/hacmi korunur, ancak şekli değişir. Kesme dönüşümleri determinantı 1 olan matrislerdir.
▪️ Determinant: $\det(S_{shear}) = 1$ (alan/hacim korunur)
▪️ Köşegen Dışı Elemanlar: Kesme miktarını belirler
▪️ Ters Dönüşüm: Kesme matrisinin tersi $S^{-1}$ ile yapılır
Bir noktayı x yönünde $a$ kadar kaydırır (y koordinatı x'i etkiler):
Uygulama: $(x, y) \rightarrow (x + ay, y)$
Bir noktayı y yönünde $b$ kadar kaydırır (x koordinatı y'yi etkiler):
Uygulama: $(x, y) \rightarrow (x, y + bx)$
Kare şeklindeki bir nesnenin köşeleri $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(2,2)$, $D(0,2)$ olsun. x yönünde $a=0.5$ kesme uygulayalım:
| Nokta | Kesme Öncesi | Kesme Sonrası |
|---|---|---|
| A | $(0, 0)$ | $(0 + 0.5\cdot0, 0) = (0, 0)$ |
| B | $(2, 0)$ | $(2 + 0.5\cdot0, 0) = (2, 0)$ |
| C | $(2, 2)$ | $(2 + 0.5\cdot2, 2) = (3, 2)$ |
| D | $(0, 2)$ | $(0 + 0.5\cdot2, 2) = (1, 2)$ |
Kare bir paralelkenar şekline dönüşmüştür. Alan: $2 \times 2 = 4$ (değişmedi).
Aynı kareye y yönünde $b = 0.8$ kesme uygulayalım:
| Nokta | Kesme Öncesi | Kesme Sonrası |
|---|---|---|
| A | $(0, 0)$ | $(0, 0 + 0.8\cdot0) = (0, 0)$ |
| B | $(2, 0)$ | $(2, 0 + 0.8\cdot2) = (2, 1.6)$ |
| C | $(2, 2)$ | $(2, 2 + 0.8\cdot2) = (2, 3.6)$ |
| D | $(0, 2)$ | $(0, 2 + 0.8\cdot0) = (0, 2)$ |
3 boyutlu kesme matrisleri, iki eksen arasındaki kaymayı ifade eder:
| Dönüşüm | 2 Boyutlu Matris | Açıklama |
|---|---|---|
| x ekseni yansıma | $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ | $(x,y) \rightarrow (x,-y)$ |
| y ekseni yansıma | $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ | $(x,y) \rightarrow (-x,y)$ |
| Orijin yansıma | $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ | $(x,y) \rightarrow (-x,-y)$ |
| $y=x$ yansıma | $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ | $(x,y) \rightarrow (y,x)$ |
| x yönü kesme | $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ | $(x,y) \rightarrow (x+ay,y)$ |
| y yönü kesme | $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix}$ | $(x,y) \rightarrow (x,y+bx)$ |
Soru: $P = (1, 2)$ noktasına önce x eksenine göre yansıma, sonra x yönünde $a=2$ kesme uygulayın.
Çözüm:
Matris çarpımı ile: $M = S_x(2) \cdot R_x$
Soru: $S_x(a) = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ matrisinin tersini bulun.
Çözüm:
Benzer şekilde: $S_y(b)^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -b & 1 \end{bmatrix}$
Yansıma ve kesme, önemli geometrik dönüşümlerdir.
▪️ Yansıma: Bir eksen/düzlem etrafında aynalama, $\det = -1$
- x ekseni: $(x,y) \rightarrow (x,-y)$
- y ekseni: $(x,y) \rightarrow (-x,y)$
- Orijin: $(x,y) \rightarrow (-x,-y)$
- $y=x$: $(x,y) \rightarrow (y,x)$
▪️ Kesme: Bir eksen boyunca kaydırma, $\det = 1$
- x yönü: $(x,y) \rightarrow (x+ay, y)$
- y yönü: $(x,y) \rightarrow (x, y+bx)$
▪️ Özellikler: Yansıma ortogonaldir, kesme alan/hacim korur
Bir sonraki adımda "Dönüşümlerin Birleştirilmesi ve Uygulamaları" ile tüm dönüşümleri bir arada göreceğiz.