Adım Adım Türetiliş
1
Wallis integralini tanımla
$n \ge 0$ tam sayısı için aşağıdaki integrali tanımlayalım:
$$ I_n = \int_{0}^{\pi/2} \sin^n x \, dx $$
2
İndirgeme bağıntısını kur
Kısmi integrasyon uygulanınca $I_n$ ile $I_{n-2}$ arasında şu bağıntı elde edilir:
$$ I_n = \frac{n-1}{n}\, I_{n-2} $$
Bu bağıntı tekrar tekrar uygulanarak $I_n$'in çift ve tek $n$ değerleri için kapalı formu bulunabilir.
3
Çift ve tek terimleri hesapla
$I_0 = \dfrac{\pi}{2}$ ve $I_1 = 1$ başlangıç değerleriyle indirgeme uygulanırsa:
$$ I_{2m} = \frac{\pi}{2}\cdot \prod_{k=1}^{m} \frac{2k-1}{2k}, \qquad I_{2m+1} = \prod_{k=1}^{m} \frac{2k}{2k+1} $$
4
Oranı $I_{2m}/I_{2m+1}$ kur
$0 \le x \le \pi/2$ aralığında $\sin x \le 1$ olduğundan $I_{2m+1} \le I_{2m} \le I_{2m-1}$ eşitsizliği geçerlidir. Bu, ardışık oranın $1$'e yaklaştığını gösterir:
$$ \lim_{m\to\infty} \frac{I_{2m}}{I_{2m+1}} = 1 $$
5
Kapalı formları yerine koy
3. adımdaki ifadeleri bu orana yerleştirirsek:
$$ \lim_{m\to\infty} \frac{\pi}{2}\cdot \prod_{k=1}^{m} \frac{2k-1}{2k}\cdot \prod_{k=1}^{m} \frac{2k+1}{2k} = 1 $$
Yani:
$$ \frac{\pi}{2} = \lim_{m\to\infty} \prod_{k=1}^{m} \frac{2k}{2k-1}\cdot\frac{2k}{2k+1} $$
6
Sonsuz çarpım olarak yaz
Limiti sonsuz çarpım gösterimiyle ifade edersek, Wallis çarpımına ulaşırız:
$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots $$
Sonuç
$$ \frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1} $$
Wallis çarpımının matematik tarihindeki yeri özeldir:
- İlk sonsuz çarpım — $\pi$'yi cebirsel işlemlerle üreten ilk kapalı ifadelerden biridir.
- Trigonometrik köken — geometriden değil, $\sin^n x$'in integral davranışından türetilir.
- Stirling ile bağlantı — Wallis çarpımı, Stirling yaklaşımındaki $\sqrt{2\pi}$ sabitinin ispatında doğrudan kullanılır.