Adım Adım Türetiliş
1
Stirling'in asimptotik yaklaşımını hatırla
$n!$'in büyük $n$ değerleri için asimptotik davranışını veren Stirling yaklaşımı şöyledir:
$$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \quad (n \to \infty) $$
Buradaki "$\sim$" işareti, iki tarafın oranının $n \to \infty$ iken $1$'e yaklaştığı anlamına gelir.
2
Asimptotik eşdeğerliği limit olarak yaz
"$\sim$" tanımını kullanarak bu ifadeyi bir limit denklemine çevirelim:
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}} = 1 $$
3
$(n/e)^n$ ifadesini aç
Paydadaki $\left(\dfrac{n}{e}\right)^n = \dfrac{n^n}{e^n}$ olduğuna göre, paydayı yeniden yazalım:
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\cdot \dfrac{n^n}{e^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\, e^n}{\sqrt{2\pi n}\; n^n} = 1 $$
4
Karekökü ayrıştır
$\sqrt{2\pi n} = \sqrt{2\pi}\cdot\sqrt{n}$ olduğundan, bunu paydada ayırarak yazabiliriz:
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{n!\, e^n}{\sqrt{2\pi}\;\sqrt{n}\; n^n} = 1 $$
5
$\sqrt{2\pi}$'yi karşı tarafa geçir
Sabit olan $\sqrt{2\pi}$ terimini eşitliğin sağ tarafına çarpan olarak taşıyalım:
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{n!\, e^n}{\sqrt{n}\; n^n} = \sqrt{2\pi} $$
6
İfadeyi düzenle ve sonuca ulaş
Pay ve paydadaki terimleri istenen sırayla yazarsak, aranan limit elde edilir:
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{e^n\, n!}{n^n \sqrt{n}} = \sqrt{2\pi} $$
Sonuç
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{e^n\, n!}{n^n \sqrt{n}} = \sqrt{2\pi} $$
Bu limit, Stirling yaklaşımının farklı bir bakış açısıyla ifade edilmiş halidir ve birkaç önemli unsuru bir araya getirir:
- $n!$ — faktöriyel (ayrık/kombinatorik büyüklük)
- $e$ — doğal logaritmanın tabanı
- $n^n$ ve $\sqrt{n}$ — üstel ve kök büyümeyi temsil eden terimler
- $\pi$ — çember sabiti, sonuçta $\sqrt{2\pi}$ olarak ortaya çıkar