Öteleme ve Ölçekleme Dönüşümleri – Lineer Cebir

🎯 NE ÖĞRENECEĞİZ?

Bu sayfada öteleme (translation) ve ölçekleme (scaling) dönüşümlerini öğreneceğiz. 2 boyutlu ve 3 boyutlu uzayda öteleme ve ölçekleme matrisleri, homojen koordinat sistemi, dönüşümlerin birleştirilmesi ve detaylı örnekler anlatılacaktır.

📊 Giriş: Temel Dönüşümler

Lineer dönüşümler arasında en temel üç dönüşüm şunlardır:

Dönüşüm	Açıklama	Matris Temsili
Döndürme (Rotation)	Bir vektörü bir eksen etrafında döndürür	$R(\theta)$ (ortogonal, det=1)
Ölçekleme (Scaling)	Bir vektörü büyütür veya küçültür	$S(s_x, s_y, s_z)$ (köşegen)
Öteleme (Translation)	Bir vektörü bir yönde kaydırır	$T(t_x, t_y, t_z)$ (homojen koordinat)

💡 HOMOJEN KOORDİNATLAR NEDEN ÖNEMLİ?

Öteleme dönüşümü, standart lineer dönüşüm matrisleriyle (2x2 veya 3x3) ifade edilemez. Çünkü öteleme $v' = v + t$ şeklinde bir toplam işlemidir ve bu lineer değildir. Bu yüzden homojen koordinat sistemine geçilir ve tüm dönüşümler 3x3 (2 boyut) veya 4x4 (3 boyut) matrislerle ifade edilir.

📐 Homojen Koordinat Sistemi

Homojen koordinatlarda, bir noktaya 1 eklenir:

\text{2 boyutlu: } (x, y) \rightarrow (x, y, 1) $$ $$ \text{3 boyutlu: } (x, y, z) \rightarrow (x, y, z, 1)

Dönüşümlerden sonra homojen koordinat tekrar Kartezyen koordinata çevrilir.

📐 2 Boyutlu Öteleme Dönüşümü

Bir noktayı $(t_x, t_y)$ kadar öteleyen matris:

$$ T(t_x, t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 2 boyutlu öteleme matrisi (homojen koordinat)

Bir noktaya uygulama:

$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix} $$ $(x', y') = (x + t_x, y + t_y)

📝 Örnek 1: 2 Boyutlu Öteleme

$P = (2, 3)$ noktasını $t_x = 4, t_y = -2$ kadar öteleyelim:

$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $$ $P' = (6, 1)

📐 2 Boyutlu Ölçekleme Dönüşümü

Bir noktayı $s_x$ ve $s_y$ faktörleriyle ölçekleyen matris:

$$ S(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 2 boyutlu ölçekleme matrisi (homojen koordinat)

Bir noktaya uygulama:

$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x x \\ s_y y \\ 1 \end{bmatrix} $$ $(x', y') = (s_x x, s_y y)

📊 ÖLÇEKLEME FAKTÖRLERİ

▪️ $s > 1$: Büyültme (nesne büyür)

▪️ $0 < s < 1$: Küçültme (nesne küçülür)

▪️ $s = 1$: Değişiklik yok (birim)

▪️ $s < 0$: Yansıma (ters çevirir)

📝 Örnek 2: 2 Boyutlu Ölçekleme

$P = (2, 3)$ noktasını $s_x = 2, s_y = 0.5$ ile ölçekleyelim:

$$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \\ 1 \end{bmatrix} $$ $P' = (4, 1.5)$ (x iki katı, y yarısı)

📐 3 Boyutlu Dönüşümler

🟢 3 Boyutlu Öteleme

$$ T(t_x, t_y, t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 3 boyutlu öteleme matrisi

🟢 3 Boyutlu Ölçekleme

$$ S(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 3 boyutlu ölçekleme matrisi

📝 Örnek 3: 3 Boyutlu Öteleme ve Ölçekleme

$P = (1, 2, 3)$ noktasını önce $T(2, -1, 4)$ ile öteleyelim, sonra $S(3, 2, 0.5)$ ile ölçekleyelim:

$ \text{Öteleme: } P_1 = (1+2, 2-1, 3+4) = (3, 1, 7) $$ $$ \text{Ölçekleme: } P_2 = (3 \cdot 3, 1 \cdot 2, 7 \cdot 0.5) = (9, 2, 3.5) $$ $P' = (9, 2, 3.5)

📐 Dönüşümlerin Birleştirilmesi

Birden fazla dönüşüm çarpım ile birleştirilir. Sıralama önemlidir!

🔴 SIRALAMA ÖNEMLİDİR!

Matris çarpımı değişmeli olmadığı için dönüşümlerin uygulama sırası çok önemlidir. $v' = M_2 \cdot M_1 \cdot v$'de önce $M_1$, sonra $M_2$ uygulanır.

Örnek 4 Dönüşüm Birleştirme

Soru: Bir üçgenin köşeleri $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(0,2)$ olsun. Önce $S(2,3)$ ile ölçekleyin, sonra $T(1,4)$ ile öteleyin.

Çözüm:

Matris: $M = T(1,4) \cdot S(2,3)$

M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Dönüşümü uygulayalım:

A' = M \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow (1,4) $$ $$ B' = M \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow (5,4) $$ $$ C' = M \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 10 \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow (1,10)

📋 Dönüşüm Matrisleri Özet

Dönüşüm	2 Boyutlu	3 Boyutlu
Öteleme	$T(t_x,t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	$T(t_x,t_y,t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Ölçekleme	$S(s_x,s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$	$S(s_x,s_y,s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Örnek 5 Ters Dönüşüm

Soru: $P = (3, 5)$ noktasına $T(2, -1)$ uygulanmış ve $P' = (5, 4)$ elde edilmiş. Orijinal noktayı bulun.

Çözüm: Ters öteleme: $T^{-1}(2, -1) = T(-2, 1)$

$$ P = T(-2, 1) \cdot P' = (5-2, 4+1) = (3, 5) \quad \checkmark $$ Orijinal nokta $(3,5)$ olarak bulunur.

📌 ÖZET

Öteleme ve ölçekleme, temel geometrik dönüşümlerdir.

▪️ Öteleme: $v' = v + t$ → Homojen koordinatlarda matris ile ifade edilir
▪️ Ölçekleme: $v' = S \cdot v$ → Köşegen matris ile ifade edilir
▪️ Homojen Koordinat: $(x,y) \rightarrow (x,y,1)$, $(x,y,z) \rightarrow (x,y,z,1)$
▪️ Dönüşüm Sırası: Çarpım sırası önemlidir! $M_{toplam} = M_2 \cdot M_1$
▪️ Ters Dönüşüm: $T^{-1}(t) = T(-t)$, $S^{-1}(s) = S(1/s)$

Bir sonraki adımda "Yansıma ve Kesme Dönüşümleri" ile diğer temel dönüşümleri öğreneceğiz.

← Lineer Dönüşümler ana sayfasına dön