Mersenne Asal Sayıları | Matematiksel Derinlik

Tanım ve Temel Özellik

1 Mersenne sayısı nedir?

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $2^n - 1$ biçimindeki sayılara Mersenne sayısı denir. Eğer bu sayı aynı zamanda asal ise, buna Mersenne asalı adı verilir.

$$ M_n = 2^n - 1 \quad \text{(Mersenne sayısı)} $$

2 $n$ asal olmalıdır (gerekli koşul)

Eğer $n$ bileşik ise, yani $n = a \cdot b$ şeklinde yazılabiliyorsa, $2^n - 1$ de çarpanlara ayrılır. Bu durumda $2^n - 1$ asal olamaz. Dolayısıyla $M_n$'nin asal olabilmesi için $n$ asal olmalıdır.

$$ n = a \cdot b \quad \Longrightarrow \quad 2^{ab} - 1 = (2^a - 1)(2^{a(b-1)} + 2^{a(b-2)} + \cdots + 1) $$

3 Peki ya $n$ asal ise?

$n$ asal olması, $2^n - 1$'in asal olması için yeterli değildir. Bunun en bilinen örneği $n = 11$'dir. $11$ asaldır ancak $2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$ bileşiktir.

$$ 2^{11} - 1 = 2047 = 23 \cdot 89 $$

Lucas-Lehmer Asallık Testi

4 Testin tanımı

Mersenne sayıları için özel bir asallık testi vardır: Lucas-Lehmer testi. Bu test, yalnızca $2^n - 1$ biçimindeki sayılar için çalışır ve son derece verimlidir. Test şu şekilde tanımlanır:

$$ s_0 = 4, \quad s_{k} = s_{k-1}^2 - 2 $$

5 Testin uygulanması

$p$ asal olmak üzere, $M_p = 2^p - 1$ sayısının asallığını test etmek için $s_{p-2}$ terimi hesaplanır. Eğer $s_{p-2} \equiv 0 \pmod{M_p}$ ise, $M_p$ asaldır. Aksi halde bileşiktir.

$$ s_{p-2} \equiv 0 \pmod{2^p - 1} \quad \Longleftrightarrow \quad M_p \text{ asal} $$

6 Örnek: $M_5 = 31$

$p=5$ için $M_5 = 31$'i test edelim:

$$ s_0 = 4 $$ $$ s_1 = 4^2 - 2 = 14 $$ $$ s_2 = 14^2 - 2 = 194 \equiv 8 \pmod{31} $$ $$ s_3 = 8^2 - 2 = 62 \equiv 0 \pmod{31} $$

$s_3 \equiv 0 \pmod{31}$ olduğu için $M_5 = 31$ asaldır.

Mükemmel Sayılarla Bağlantı

7 Öklid'in formülü

Her Mersenne asalı, bir çift mükemmel sayı üretir. Öklid, M.Ö. 300 yılında şu teoremi kanıtlamıştır:

$$ 2^{p-1} \cdot (2^p - 1) \quad \text{mükemmel sayıdır} \quad \Longleftrightarrow \quad 2^p - 1 \text{ asaldır} $$

8 Örnek: $p=3$ için

$p=3$ için $M_3 = 7$ asaldır. Öklid'in formülü bize şu mükemmel sayıyı verir:

$$ 2^{3-1} \cdot (2^3 - 1) = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28 $$

$28$'in bölenleri: $1, 2, 4, 7, 14$. Toplamları $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$'dir. Yani $28$ mükemmel bir sayıdır.

Bilinen Mersenne Asalları

#	$p$	$M_p = 2^p - 1$	Basamak	Keşif Yılı
1	2	3	1	Antik
2	3	7	1	Antik
3	5	31	2	Antik
4	7	127	3	Antik
5	13	8191	4	1456
6	17	131071	6	1588
7	19	524287	6	1588
8	31	2147483647	10	1772
9	61	2305843009213693951	19	1883
10	89	...	27	1911

Sonuç

$$ M_p = 2^p - 1 \quad \text{asal} \quad \Longleftrightarrow \quad s_{p-2} \equiv 0 \pmod{M_p} $$

Bugün bilinen 51 Mersenne asalı vardır. En büyüğü $ M_{82589933} $, yaklaşık 24.8 milyon basamaklıdır.

Mersenne asalları hakkında hala cevapsız sorular var: Sonsuz tane Mersenne asalı var mıdır? Bu, matematiğin en önemli açık problemlerinden biridir. Ayrıca her Mersenne asalı bir çift mükemmel sayı üretir; ancak tek mükemmel sayıların varlığı hala bilinmemektedir.