Lineer Cebir, üniversitelerin mühendislik, fen ve sosyal bilim programlarında temel matematik derslerinden biridir ve öğrencilerin soyut düşünme ile problem çözme becerilerini geliştirmede kritik rol oynar. Lineer Cebir dersi, matrisler, determinantlar, doğrusal denklem sistemleri, vektör uzayları ve özdeğer-özvektör kavramlarını öğreterek hem teorik hem de uygulamalı matematiğin güçlü bir temelini oluşturur. Bu ders sayesinde öğrenciler; doğrusal denklem sistemlerini çözmeyi, vektörler ve matrisler üzerinde işlem yapmayı, geometrik ve cebirsel yöntemlerle problemleri analiz etmeyi öğrenir. Ayrıca bilgisayar bilimlerinde veri analizi, mühendislikte modelleme, ekonomide optimizasyon ve fiziğin birçok alanında lineer cebirin geniş uygulama alanlarıyla karşılaşılır. Lineer Cebir’de kazanılan bilgiler, yalnızca matematiksel altyapıyı güçlendirmekle kalmaz; aynı zamanda öğrencilerin analitik ve mantıksal düşünme yeteneklerini de ileriye taşır. Bu derste başarılı olanlar, ileride alacakları Nümerik Analiz, Diferansiyel Denklemler, Olasılık ve İstatistik, Optimizasyon gibi dersler için sağlam bir temel oluşturur.
| Konular | İçerik |
|---|---|
| 1. Matrisler | Matris Tanımı ve Gösterimi, Matris Çeşitleri, Matrislerle İşlemler |
| 2. Lineer Denklem Sistemlerinin Matrisler ile Çözümü | Lineer Denklem Sistemlerinin Matris Gösterimi, Gauss Yok Etme (Eliminasyon) Yöntemi, Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi, Eşelon Form ve İndirgenmiş Eşelon Form, Çözüm Durumlarının İncelenmesi (Homojen ve Homojen Olmayan Sistemler) |
| 3. Determinant | Determinant Tanımı ve Gösterimi, Determinant Hesaplama Yöntemleri (Temel Çapraz Çarpım Kuralı, Sarrus Kuralı, Kofaktör Açılımı, Satır İşlemleri ile Hesaplama), Determinantın Özellikleri, Determinantın Uygulamaları (Ters Matrisin Varlığı ve Hesaplanması, Adjoint (Ek) Matris Kavramı, Kramer Kuralı) |
| 4. Ters Matrisler | Ters Matris Tanımı ve Varlığı, Ters Matris Hesaplama Yöntemleri (2x2 Matrisler İçin Pratik Formül, Ek Matris (Adjoint) Yöntemi, Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi), Ters Matrisin Özellikleri, Lineer Denklem Sistemlerinin Ters Matris ile Çözümü |
| 5. A=LU Ayrışımı | A=LU Ayrışımı Kavramı, LU Ayrışımının Bulunması (Gauss Eliminasyonu ile LU Ayrışımı, Doolittle ve Crout Metotları), Kısmi Pivotlama ve PA=LU Ayrışımı, LU Ayrışımı Kullanılarak Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü |
| 6. Özdeğer ve Özvektörler | Özvektör Denklemi (A.v=λ.x) ve Özdeğer ile Özvektör Tanımı, Özdeğerlerin Bulunması, Özvektörlerin Bulunması, Matrislerin Köşegenleştirilmesi, Özdeğer ve Özvektörlerin Özel Matrisler İçin İncelenmesi, Matrislerde Büyük Üslerin Hesaplanması |
| 7. Vektörler | Vektör Kavramı, Vektörün Uzunluğu, Birim Vektör, İç Çarpım, Vektörlerin Paralellik ve Dikliği, Vektörler Arasındaki Açı, Dik İzdüşüm, Vektörel Çarpım, Vektörler ile Alan ve Hacim Uygulamaları, Cauchy-Schwarz Eşitsizliği, Üçgen Eşitsizliği |
| 8. Vektör Uzayları | Vektör Uzayının Tanımı ve Temel Aksiyomları, Alt Uzaylar, Germe (Span) ve Lineer Kombinasyonlar, Lineer Bağımsızlık ve Bağımlılık, Baz ve Boyut, Matrislerle İlişkili Temel Uzaylar (Sütun Uzayı, Satır Uzayı, Sıfır Uzayı, Rank Teoremi, Koordinat Vektörü ve Taban Değişimi |
| 9. Doğrusal Dönüşümler | Doğrusal Dönüşüm Tanımı, Matris Temsili (Standart Matris ve Tabana Göre Matris), Çekirdek ve Görüntü, Özel Doğrusal Dönüşüm Tipleri (Birebir, Örten, İzomorfizma), Doğrusal Dönüşümün Tersi |
| 10. Ortogonality | Temel Ortogonallik Kavramları (İç Çarpım ve Diklik Tanımı, Birim Vektörler ve Normalleştirme, Ortogonal Kümeler), Ortonormal Kavramlar (Ortonormal Kümeler, Ortonormal Bazlar), Gram-Schmidt Ortonormalleştirme Yöntemi, Ortogonal Tümleyen (Orthogonal Complement), Ortogonal Matrisler, QR Ayrışımı |
| 11. En Küçük Kareler Yöntemi | Temel Kavramlar (Tutarsız Sistemler, Hata Vektörü, En Küçük Kareler Prensibi), Lineer Cebirsel Yaklaşım ile En Küçük Karele Yönteminin Uygulanması |
| 12. İç Çarpım Uzayları | İç Çarpım Uzayının Tanımı, Norm (Uzunluk), Uzaklık ve Açı Kavramları, Cauchy-Schwarz Eşitsizliği, Üçgen Eşitsizliği, Paralelkenar Kuralı, Ortogonallik (Diklik) Kavramının Genelleştirilmesi |
BUders Lineer Cebir Yardımcı Kaynakları aşağıdaki 3 linkte toplanmıştır.