1
Zeta fonksiyonunu tanımla
$\operatorname{Re}(s) > 1$ için zeta fonksiyonu şu sonsuz seriyle tanımlanır:
$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots $$
2
Seriyi $2^{-s}$ ile çarp
$\zeta(s)$'i $\dfrac{1}{2^s}$ ile çarparsak, sadece çift $n$'lerden oluşan bir seri elde ederiz:
$$ \frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots $$
3
Elemek için çıkar
Bu iki seriyi birbirinden çıkarırsak, çift terimler yok olur ve geriye yalnızca $2$'ye bölünmeyen $n$ terimleri kalır:
$$ \left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots $$
Bu, Eratosthenes kalburuna benzer bir elemedir: $2$'nin katları elenmiştir.
4
İşlemi bir sonraki asalla tekrarla
Aynı işlemi şimdi $3^{-s}$ ile tekrarlayarak $3$'ün katlarını da eleyelim:
$$ \left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \cdots $$
Bu adım her bir asal sayı için tekrarlanabilir; her seferinde bir sonraki asalın katları elenir.
5
Tüm asallar için genelle
Bu eleme işlemini tüm asal sayılar $p = 2, 3, 5, 7, \ldots$ için sonsuza kadar sürdürürsek, sağ taraf yalnızca $1$'e indirgenir:
$$ \cdots\left(1 - \frac{1}{5^s}\right)\left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 $$
Çünkü her tam sayı, asal çarpanlarına ayrılışı sayesinde tam olarak bir kez elenir (aritmetiğin temel teoremi).
6
$\zeta(s)$'i yalnız bırak
Her iki tarafı da çarpım terimlerine bölersek, Euler'in çarpım formülüne ulaşırız:
$$ \zeta(s) = \prod_{p \text{ asal}} \frac{1}{1 - p^{-s}} $$
Sonuç
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ asal}} \frac{1}{1-p^{-s}} $$
Bu formülün önemi, iki farklı dünyayı birbirine bağlamasından gelir:
- Sol taraf — tüm doğal sayılar üzerinden kurulan analitik bir toplam.
- Sağ taraf — yalnızca asal sayılar üzerinden kurulan cebirsel bir çarpım.
- $s = 2$ özel hali — bu formül $s=2$ için Basel probleminin sonucuyla, yani $\zeta(2) = \pi^2/6$ ile doğrudan ilişkilidir.
Bu özdeşlik sayesinde asal sayıların dağılımı analitik yöntemlerle incelenebilir hale gelmiş ve Riemann'ın 1859'daki çalışmasıyla modern sayılar teorisinin temeli atılmıştır.