Adım Adım Türetiliş
1
Yardımcı bir fonksiyon tanımla
$a_1, \ldots, a_n$ ve $b_1, \ldots, b_n$ gerçel sayılar olsun. Gerçel bir $t$ değişkeni için şu fonksiyonu tanımlayalım:
$$ f(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i - t\, b_i)^2 $$
Her terim bir karesel ifade olduğundan, her $t$ için $f(t) \ge 0$'dır.
2
$f(t)$'yi aç
Kareyi açıp toplamı dağıtırsak:
$$ f(t) = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 - 2t \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + t^2 \sum_{i=1}^{n} b_i^2 $$
3
İkinci dereceden fonksiyon olarak yaz
$A = \displaystyle\sum a_i^2$, $B = \displaystyle\sum a_i b_i$, $C = \displaystyle\sum b_i^2$ tanımlarsak, $f(t)$, $t$ cinsinden ikinci dereceden bir polinomdur:
$$ f(t) = C\,t^2 - 2B\,t + A \ \ge 0 \quad \text{her } t \text{ için} $$
4
Diskriminant koşulunu uygula
Bir ikinci dereceden polinomun her yerde negatif olmaması için diskriminantının $0$'dan büyük olmaması gerekir:
$$ \Delta = (-2B)^2 - 4CA \ \le 0 $$
5
Eşitsizliği sadeleştir
$\Delta = 4B^2 - 4AC \le 0$ ifadesini $4$'e bölersek:
$$ B^2 \le AC $$
6
$A$, $B$, $C$'yi geri yerine koy
$A$, $B$, $C$ tanımlarını yerine koyduğumuzda Cauchy-Schwarz eşitsizliğine ulaşırız:
$$ \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right) $$
Sonuç
$$ \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^{2} \le \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right) $$
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin gücü, çok farklı alanlarda aynı fikri yeniden ortaya çıkarmasından gelir:
- Geometri — iç çarpım uzaylarında $|\langle u, v\rangle| \le \|u\|\,\|v\|$ biçimini alır; iki vektör arasındaki açının kosinüsünün $[-1,1]$'de kalmasını garanti eder.
- Olasılık — rastgele değişkenler için $\operatorname{Cov}(X,Y)^2 \le \operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)$ eşitsizliğine dönüşür.
- Eşitlik durumu — eşitlik yalnızca $a_i$ ve $b_i$ dizileri birbirinin sabit katı olduğunda, yani $a_i = \lambda b_i$ olduğunda sağlanır.