Alt Uzayların Toplamı

🔷 Toplam Nedir?

$V$ bir vektör uzayı olsun. $W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ iki alt uzay olsun. $W_1$ ve $W_2$'nin toplamı, bir vektörü $W_1$'den, diğerini $W_2$'den alarak oluşturulan tüm vektörlerin kümesidir:

$$ W_1 + W_2 = \{ w_1 + w_2 \;|\; w_1 \in W_1 \text{ ve } w_2 \in W_2 \} $$

$W_1$'den ve $W_2$'den alınan vektörlerin toplamları

💡 Sezgisel Anlam: $W_1 + W_2$, $W_1$ ve $W_2$'yi kapsayan en küçük alt uzaydır. Yani, $W_1 \cup W_2$'yi içeren en küçük alt uzaydır.

🔷 Temel Teorem

📐 Teorem

Eğer $W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ ise, o zaman

$$ W_1 + W_2 \le V $$

Yani, iki alt uzayın toplamı yine bir alt uzaydır.

👨‍🏫 İspat

$W = W_1 + W_2$ için alt uzay olma koşullarını kontrol edelim:

📝 İspat Adımları

(i)

$0 \in W_1 + W_2$ — $0 \in W_1$ ve $0 \in W_2$ olduğu için $0 = 0 + 0 \in W_1 + W_2$'dir. ✅

(ii)

$u,v \in W_1 + W_2 \Rightarrow u+v \in W_1 + W_2$ — $u = w_1 + w_2$ ve $v = w_1' + w_2'$ olacak şekilde $w_1,w_1' \in W_1$ ve $w_2,w_2' \in W_2$ vardır. $$ u+v = (w_1+w_1') + (w_2+w_2') $$ $W_1$ ve $W_2$ alt uzay olduğu için $w_1+w_1' \in W_1$ ve $w_2+w_2' \in W_2$'dir. Dolayısıyla $u+v \in W_1 + W_2$'dir. ✅

(iii)

$c \in \mathbb{R}, u \in W_1 + W_2 \Rightarrow cu \in W_1 + W_2$ — $u = w_1 + w_2$ olacak şekilde $w_1 \in W_1$ ve $w_2 \in W_2$ vardır. $$ cu = c(w_1 + w_2) = cw_1 + cw_2 $$ $W_1$ ve $W_2$ alt uzay olduğu için $cw_1 \in W_1$ ve $cw_2 \in W_2$'dir. Dolayısıyla $cu \in W_1 + W_2$'dir. ✅

✅ Her üç koşul da sağlandığı için $W_1 + W_2$ bir alt uzaydır.

💡 Önemli Not: $W_1 + W_2$, $W_1 \cup W_2$'yi içeren en küçük alt uzaydır. Yani, eğer $W_1 \cup W_2 \subseteq U$ olacak şekilde bir $U \le V$ alt uzayı varsa, o zaman $W_1 + W_2 \subseteq U$'dur.

📊 Kesişim, Birleşim ve Toplam Karşılaştırması

İşlem	Tanım	Alt Uzay mı?
Kesişim ($W_1 \cap W_2$)	$v \in W_1$ ve $v \in W_2$	✅ Her zaman
Birleşim ($W_1 \cup W_2$)	$v \in W_1$ veya $v \in W_2$	❌ Genelde değil
Toplam ($W_1 + W_2$)	$w_1 + w_2$ ($w_1 \in W_1, w_2 \in W_2$)	✅ Her zaman

📝 Örnek Sorular

Örnek 1 ℝ³'te İki Düzlemin Toplamı

$V = \mathbb{R}^3$ olsun. $W_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; z = 0\}$ ($xy$-düzlemi) ve $W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; x = 0 \text{ ve } y = 0\}$ ($z$-ekseni) alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 + W_2$'yi bulun.

Çözüm

Herhangi bir $v \in \mathbb{R}^3$, $v = (x,y,z)$ olsun.

$v$'yi $W_1$'den ve $W_2$'den gelen vektörlerin toplamı olarak yazabilir miyiz?

$ (x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z) $$ $(x,y,0) \in W_1$ ve $(0,0,z) \in W_2

Her $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ bu şekilde yazılabildiği için:

W_1 + W_2 = \mathbb{R}^3

Yani, $W_1 + W_2$ tüm $\mathbb{R}^3$'ü kapsar. ✅

Örnek 2 ℝ²'de İki Doğrunun Toplamı

$V = \mathbb{R}^2$ olsun. $W_1 = \{(t,0) \;|\; t \in \mathbb{R}\}$ ($x$-ekseni) ve $W_2 = \{(0,t) \;|\; t \in \mathbb{R}\}$ ($y$-ekseni) alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 + W_2$'yi bulun.

Çözüm

Herhangi bir $(x,y) \in \mathbb{R}^2$:

$ (x,y) = (x,0) + (0,y) $$ $(x,0) \in W_1$ ve $(0,y) \in W_2

Her $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ bu şekilde yazılabildiği için:

W_1 + W_2 = \mathbb{R}^2

$W_1$ ve $W_2$'nin toplamı tüm düzlemi kapsar. ✅

Örnek 3 Polinom Uzayında Toplam

$V = P_2(\mathbb{R})$ olsun. $W_1 = \{p(x) \in P_2 \;|\; p(0) = 0\}$ ve $W_2 = \{p(x) \in P_2 \;|\; p'(0) = 0\}$ alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 + W_2 = P_2$ midir?

Çözüm

$p(x) = ax^2 + bx + c \in P_2$ olsun.

$p \in W_1$ ise $p(0) = c = 0$'dır. Yani $p(x) = ax^2 + bx$.

$p \in W_2$ ise $p'(0) = b = 0$'dır. Yani $p(x) = ax^2 + c$.

$W_1 + W_2$'deki bir polinom:

$$ (a_1x^2 + b_1x) + (a_2x^2 + c) = (a_1+a_2)x^2 + b_1x + c $$

Burada $a_1,a_2,b_1,c \in \mathbb{R}$ serbest olduğu için her polinom yazılabilir.

✅ $W_1 + W_2 = P_2$'dir.

Örnek 4 İç İçe Alt Uzayların Toplamı

$W_1 \le W_2$ olsun. (Yani $W_1$, $W_2$'nin bir alt uzayı)

$W_1 + W_2$ nedir?

Çözüm

$W_1 \le W_2$ ise, her $w_1 \in W_1$ aynı zamanda $W_2$'dedir.

$W_1 + W_2 = \{w_1 + w_2 \;|\; w_1 \in W_1, w_2 \in W_2\}$

$w_1 + w_2$'de $w_1 \in W_2$ olduğu için $w_1 + w_2 \in W_2$'dir.

Tersine, her $w_2 \in W_2$ için $w_2 = 0 + w_2$ yazılabilir ($0 \in W_1$).

$$ W_1 + W_2 = W_2 $$

Yani, eğer $W_1 \le W_2$ ise toplam, büyük olan alt uzaya eşittir. ✅