Alt Uzayların Kesişimi

🔷 Kesişim Nedir?

$V$ bir vektör uzayı olsun. $W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ iki alt uzay olsun. $W_1$ ve $W_2$'nin kesişimi, her iki alt uzayda da bulunan vektörlerin kümesidir:

$$ W_1 \cap W_2 = \{ v \in V \;|\; v \in W_1 \text{ ve } v \in W_2 \} $$

Sadece her iki kümede de olan vektörler

Kesişim, her iki alt uzayın da ortak elemanlarından oluşur. Bu küme, genellikle iki alt uzayın "kesiştiği" bölgeyi temsil eder.

🔷 Temel Teorem

📐 Teorem

Eğer $W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ ise, o zaman

$$ W_1 \cap W_2 \le V $$

Yani, iki alt uzayın kesişimi yine bir alt uzaydır.

👨‍🏫 İspat

Bir kümenin alt uzay olması için 3 koşulu sağlaması gerekir:

(i) $0 \in W$ (sıfır vektörünü içermeli)

(ii) $u,v \in W \Rightarrow u+v \in W$ (toplama kapalı)

(iii) $c \in \mathbb{R}, u \in W \Rightarrow cu \in W$ (skaler çarpıma kapalı)

Şimdi $W = W_1 \cap W_2$ için bu koşulları kontrol edelim:

📝 İspat Adımları

(i)

$0 \in W_1 \cap W_2$ — $W_1$ ve $W_2$ alt uzay olduğu için $0 \in W_1$ ve $0 \in W_2$'dir. Dolayısıyla $0 \in W_1 \cap W_2$'dir. ✅

(ii)

$u,v \in W_1 \cap W_2 \Rightarrow u+v \in W_1 \cap W_2$ — $u,v \in W_1 \cap W_2$ ise $u,v \in W_1$ ve $u,v \in W_2$'dir. $W_1$ ve $W_2$ alt uzay olduğu için $u+v \in W_1$ ve $u+v \in W_2$'dir. Dolayısıyla $u+v \in W_1 \cap W_2$'dir. ✅

(iii)

$c \in \mathbb{R}, u \in W_1 \cap W_2 \Rightarrow cu \in W_1 \cap W_2$ — $u \in W_1 \cap W_2$ ise $u \in W_1$ ve $u \in W_2$'dir. $W_1$ ve $W_2$ alt uzay olduğu için $cu \in W_1$ ve $cu \in W_2$'dir. Dolayısıyla $cu \in W_1 \cap W_2$'dir. ✅

✅ Her üç koşul da sağlandığı için $W_1 \cap W_2$ bir alt uzaydır.

💡 Önemli Not: Bu teorem sonlu sayıda alt uzay için de geçerlidir: $$ W_1 \cap W_2 \cap \dots \cap W_k \le V $$

📝 Örnek Sorular

Örnek 1 ℝ³'te İki Düzlemin Kesişimi

$V = \mathbb{R}^3$ olsun. $W_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; x = 0\}$ ($yz$-düzlemi) ve $W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; y = 0\}$ ($xz$-düzlemi) alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 \cap W_2$'yi bulun ve bir alt uzay olduğunu gösterin.

Çözüm

$W_1 \cap W_2$'deki vektörler hem $x=0$ hem $y=0$ koşullarını sağlamalıdır:

W_1 \cap W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; x=0 \text{ ve } y=0\} = \{(0,0,z) \;|\; z \in \mathbb{R}\}

Bu küme, $z$-eksenidir. $z$-ekseni bir alt uzay mıdır?

$(0,0,0) \in W_1 \cap W_2$ ✅
$(0,0,z_1) + (0,0,z_2) = (0,0,z_1+z_2) \in W_1 \cap W_2$ ✅
$c \cdot (0,0,z) = (0,0,cz) \in W_1 \cap W_2$ ✅

✅ $W_1 \cap W_2$ bir alt uzaydır (özellikle $z$-ekseni).

Örnek 2 ℝ²'de İki Doğrunun Kesişimi

$V = \mathbb{R}^2$ olsun. $W_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; y = 0\}$ ($x$-ekseni) ve $W_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; y = 2x\}$ (orijinden geçen bir doğru) alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 \cap W_2$'yi bulun ve bir alt uzay olduğunu gösterin.

Çözüm

$W_1 \cap W_2$'deki vektörler hem $y=0$ hem $y=2x$ koşullarını sağlamalıdır:

y=0 \text{ ve } y=2x \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0 $$ $$ W_1 \cap W_2 = \{(0,0)\}

Kesişim sadece sıfır vektörünü içerir. $\{(0,0)\}$ kümesi bir alt uzaydır (sıfır alt uzayı). ✅

Örnek 3 Polinom Uzayında Kesişim

$V = P_2(\mathbb{R})$ (derecesi en fazla 2 olan polinomların uzayı) olsun. $W_1 = \{p(x) \in P_2 \;|\; p(0) = 0\}$ ve $W_2 = \{p(x) \in P_2 \;|\; p(1) = 0\}$ alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 \cap W_2$'yi bulun.

Çözüm

$p(x) = ax^2 + bx + c \in P_2$ olsun.

$p \in W_1 \Rightarrow p(0) = c = 0$
$p \in W_2 \Rightarrow p(1) = a + b + c = 0$

$c=0$ ve $a+b=0 \Rightarrow b = -a$ olduğundan:

p(x) = ax^2 - ax = a(x^2 - x) $$ $$ W_1 \cap W_2 = \{ a(x^2 - x) \;|\; a \in \mathbb{R} \} = \text{span}\{x^2 - x\}

Bu küme, tek bir vektörün span'ı olduğu için bir alt uzaydır (1-boyutlu alt uzay). ✅