Alt Uzayların Birleşimi

🔷 Birleşim Nedir?

$V$ bir vektör uzayı olsun. $W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ iki alt uzay olsun. $W_1$ ve $W_2$'nin birleşimi, iki alt uzaydan en az birinde bulunan vektörlerin kümesidir:

$$ W_1 \cup W_2 = \{ v \in V \;|\; v \in W_1 \text{ veya } v \in W_2 \} $$

En az birinde olan vektörler

⚠️ Dikkat!

Kesişimden farklı olarak, iki alt uzayın birleşimi genellikle bir alt uzay değildir! Bunun nedenini aşağıdaki karşı örnekte göreceğiz.

🔷 Temel Teorem

📐 Teorem

$W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ olsun.

$W_1 \cup W_2$'nin bir alt uzay olması için gerek ve yeter koşul:

$$ W_1 \subseteq W_2 \quad \text{veya} \quad W_2 \subseteq W_1 $$

Yani, alt uzaylardan biri diğerini kapsıyorsa, birleşim bir alt uzaydır. Aksi halde birleşim alt uzay değildir.

❌ Karşı Örnek: ℝ²'de İki Doğru

$V = \mathbb{R}^2$ olsun. $W_1 = x$-ekseni ($y=0$) ve $W_2 = y$-ekseni ($x=0$) alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 \cup W_2$'nin alt uzay olmadığını gösterelim:

❌ Karşı Örnek İspatı

$u \in W_1 \cup W_2$ ve $v \in W_1 \cup W_2$ seçelim:
$u = (1,0) \in W_1$ (x-ekseninde)
$v = (0,1) \in W_2$ (y-ekseninde)

$u+v$'yi hesaplayalım:
$$ u+v = (1,0) + (0,1) = (1,1) $$

$(1,1) \in W_1 \cup W_2$ mi?
$(1,1) \notin W_1$ çünkü $y \neq 0$
$(1,1) \notin W_2$ çünkü $x \neq 0$
Dolayısıyla $(1,1) \notin W_1 \cup W_2$'dir.

Sonuç: $u,v \in W_1 \cup W_2$ olmasına rağmen $u+v \notin W_1 \cup W_2$'dir. Yani birleşim toplama işlemine kapalı değildir. Bu nedenle $W_1 \cup W_2$ bir alt uzay değildir. ❌

💡 Önemli: Birleşim toplama işlemine kapalı olmadığı için alt uzay olamaz. Alt uzay olabilmesi için gerekli koşul, alt uzaylardan birinin diğerini kapsamasıdır.

📝 Örnek Sorular

Örnek 1 ℝ³'te Birleşim Testi

$V = \mathbb{R}^3$ olsun. $W_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; z = 0\}$ ($xy$-düzlemi) ve $W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; x = 0 \text{ ve } y = 0\}$ ($z$-ekseni) alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 \cup W_2$ bir alt uzay mıdır? Açıklayın.

Çözüm

$W_2 = \{(0,0,z)\} \subseteq W_1$ midir? $(0,0,z) \in W_1$ çünkü $z=0$ koşulunu sağlar (üçüncü koordinat 0).

Aslında $W_2$, $W_1$'in içinde yer alır ($z$-ekseni, $xy$-düzleminin içindedir).

$W_2 \subseteq W_1$ olduğu için:

W_1 \cup W_2 = W_1

$W_1$ zaten bir alt uzay olduğu için $W_1 \cup W_2$ bir alt uzaydır. ✅

Örnek 2 ℝ²'de Üç Doğrunun Birleşimi

$V = \mathbb{R}^2$ olsun. $W_1 = x$-ekseni, $W_2 = y$-ekseni, $W_3 = \{(t,t) \;|\; t \in \mathbb{R}\}$ (y=x doğrusu) alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 \cup W_2 \cup W_3$ bir alt uzay mıdır?

Çözüm

$u = (1,0) \in W_1$ ve $v = (0,1) \in W_2$ seçelim.

$u+v = (1,1) \in W_3$'tür.

Peki $(1,1) \in W_1 \cup W_2 \cup W_3$ mü? Evet, çünkü $(1,1) \in W_3$'tür.

Şimdi $a = (1,0) \in W_1$ ve $b = (1,1) \in W_3$ seçelim.

$a+b = (2,1)$'dir. $(2,1)$:

$W_1$'de değil ($y \neq 0$)
$W_2$'de değil ($x \neq 0$)
$W_3$'te değil ($2 \neq 1$)

Yani $a+b \notin W_1 \cup W_2 \cup W_3$'tür. Bu nedenle birleşim alt uzay değildir. ❌

Örnek 3 Kapsama Durumunda Birleşim

$V = P_2(\mathbb{R})$ olsun. $W_1 = \{p(x) \in P_2 \;|\; p(0) = 0\}$ ve $W_2 = \{p(x) \in P_2 \;|\; p(0) = 0 \text{ ve } p(1) = 0\}$ alt uzaylarını ele alalım.

$W_1 \cup W_2$ bir alt uzay mıdır?

Çözüm

$W_2 \subseteq W_1$ midir?

$p \in W_2$ ise $p(0)=0$ ve $p(1)=0$'dır. $p(0)=0$ olduğu için $p \in W_1$'dir.

Dolayısıyla $W_2 \subseteq W_1$'dir. O halde:

W_1 \cup W_2 = W_1

$W_1$ bir alt uzay olduğu için $W_1 \cup W_2$ bir alt uzaydır. ✅

📊 Özet Tablosu

İşlem	Sonuç	Koşul
Kesişim ($W_1 \cap W_2$)	✅ Her zaman alt uzay	Koşulsuz
Birleşim ($W_1 \cup W_2$)	❌ Genelde alt uzay değil	$W_1 \subseteq W_2$ veya $W_2 \subseteq W_1$
Toplam ($W_1 + W_2$)	✅ Her zaman alt uzay	Koşulsuz

      Birleşim dışındaki işlemler alt uzay olma özelliğini korur.
    