💡 Hedef: Direkt toplamın koşulunu ($W_1 \cap W_2 = \{0\}$) anlayacak ve her vektörün tek türlü yazılabildiğini ispatlayabileceksiniz.
$V$ bir vektör uzayı, $W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ iki alt uzay olsun. Eğer $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ ise, $W_1 + W_2$ toplamına direkt toplam denir ve
Direkt toplamın en önemli özelliği, her vektörün tek bir şekilde $w_1 + w_2$ olarak yazılabilmesidir.
💡 Sezgisel Anlam: $W_1$ ve $W_2$ arasında "gereksiz" bir kesişim yok. Sadece sıfır vektörü ortak. Bu sayede her vektörün temsili benzersiz olur.
$W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir:
$$ W_1 \cap W_2 = \{0\} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Her } v \in W_1+W_2 \text{ tek türlü } w_1 + w_2 \text{ olarak yazılır} $$
Yani, direkt toplam koşulu, her vektörün tek bir şekilde temsil edilmesini sağlar.
$v \in W_1 + W_2$ olsun. $v = w_1 + w_2 = w_1' + w_2'$ şeklinde iki farklı yazılımı olduğunu varsayalım.
💡 Önemli: Direkt toplamda her vektör benzersiz şekilde $w_1 + w_2$ olarak ifade edilir. Bu, lineer cebirde çok güçlü bir özelliktir ve birçok uygulamada kullanılır.
| Durum | $W_1 \cap W_2$ | Yazılım Tekliği | Direkt Toplam mı? |
|---|---|---|---|
| $W_1$ ve $W_2$ ayrık | $\{0\}$ | ✅ Tek | ✅ Evet |
| $W_1$ ve $W_2$ kesişiyor | $\neq \{0\}$ | ❌ Tek değil | ❌ Hayır |
| $W_1 \subseteq W_2$ | $W_1$ | ❌ Tek değil | ❌ Hayır |
$V = \mathbb{R}^3$ olsun. $W_1 = \{(x,y,0) \;|\; x,y \in \mathbb{R}\}$ ($xy$-düzlemi) ve $W_2 = \{(0,0,z) \;|\; z \in \mathbb{R}\}$ ($z$-ekseni) alt uzaylarını ele alalım.
$W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R}^3$ olduğunu gösterin.
1. Adım: $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ olduğunu gösterelim.
$v \in W_1 \cap W_2$ olsun. $v = (x,y,0)$ ve $v = (0,0,z)$ olmalı.
$(x,y,0) = (0,0,z) \Rightarrow x=0, y=0, z=0$. Yani $v=(0,0,0)$.
2. Adım: $W_1 + W_2 = \mathbb{R}^3$ olduğunu gösterelim.
Her $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$ için:
✅ $W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R}^3$'tür.
$V = \mathbb{R}^2$ olsun. $W_1 = \{(t,0) \;|\; t \in \mathbb{R}\}$ ($x$-ekseni) ve $W_2 = \{(0,t) \;|\; t \in \mathbb{R}\}$ ($y$-ekseni) alt uzaylarını ele alalım.
$W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R}^2$ midir?
1. Adım: $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ kontrolü:
$v \in W_1 \cap W_2$ ise $v = (t,0)$ ve $v = (0,s)$ olmalı. $(t,0) = (0,s) \Rightarrow t=0, s=0$. Yani $v=(0,0)$.
2. Adım: $W_1 + W_2 = \mathbb{R}^2$ kontrolü:
Her $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ için $(a,b) = (a,0) + (0,b)$ yazılabilir.
✅ $W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R}^2$'dir.
$V = \mathbb{R}^2$ olsun. $W_1 = \{(t,t) \;|\; t \in \mathbb{R}\}$ ($y=x$ doğrusu) ve $W_2 = \{(t,0) \;|\; t \in \mathbb{R}\}$ ($x$-ekseni) alt uzaylarını ele alalım.
$W_1 \oplus W_2$ direkt toplam mıdır?
$W_1 \cap W_2$'yi bulalım:
$v \in W_1 \cap W_2$ ise $v = (t,t)$ ve $v = (s,0)$ olmalı.
$(t,t) = (s,0) \Rightarrow t=0$ ve $t=0$. Yani $v=(0,0)$.
$W_1 \cap W_2 = \{0\}$ olduğu için direkt toplamdır!
Aslında $W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R}^2$'dir. Her $(a,b) \in \mathbb{R}^2$:
✅ $W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R}^2$'dir (direkt toplam).
$V = \mathbb{R}^3$ olsun. $W_1 = \{(x,y,0) \;|\; x,y \in \mathbb{R}\}$ ($xy$-düzlemi) ve $W_2 = \{(x,0,0) \;|\; x \in \mathbb{R}\}$ ($x$-ekseni) alt uzaylarını ele alalım.
$W_1 \oplus W_2$ direkt toplam mıdır?
$W_1 \cap W_2$'yi bulalım:
$v \in W_1 \cap W_2$ ise $v = (x,y,0)$ ve $v = (t,0,0)$ olmalı.
$(x,y,0) = (t,0,0) \Rightarrow y=0$ ve $x=t$. Yani $v = (x,0,0)$.
$W_1 \cap W_2 = \{(x,0,0) \;|\; x \in \mathbb{R}\} \neq \{0\}$'dır.
Yani $W_1$ ve $W_2$ sadece sıfır vektöründe değil, tüm $x$-ekseninde kesişirler.
❌ $W_1 \oplus W_2$ bir direkt toplam değildir.