$$ \dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2) $$
Bu formül, kesişimin boyutunu kullanarak toplamın boyutunu hesaplar.
💡 Hedef: Alt uzayların boyutları arasındaki ilişkileri öğrenerek, verilen alt uzayların boyutlarını hesaplayabilecek ve problem çözümlerinde bu formülleri kullanabileceksiniz.
$V$ sonlu boyutlu bir vektör uzayı, $W_1 \le V$ ve $W_2 \le V$ iki alt uzay olsun. Alt uzayların boyutları arasında temel bir ilişki vardır:
$$ \dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2) $$
Bu formül, kesişimin boyutunu kullanarak toplamın boyutunu hesaplar.
$$ W_1 \cap W_2 = \{0\} \Rightarrow \dim(W_1 \oplus W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) $$
Kesişim sadece sıfır vektörü ise, boyutlar doğrudan toplanır.
$$ W_1 \subseteq W_2 \Rightarrow \dim(W_1 + W_2) = \dim(W_2) $$
Eğer bir alt uzay diğerini kapsıyorsa, toplam büyük olanın boyutuna eşittir.
$$ \dim(W_1 \cap W_2) \le \min\{\dim(W_1), \dim(W_2)\} $$
$$ \dim(W_1 + W_2) \ge \max\{\dim(W_1), \dim(W_2)\} $$
Kesişim, alt uzayların boyutlarından küçük veya eşit, toplam ise büyük veya eşit olmalıdır.
💡 Hatırlatma: $\dim(V)$, $V$'nin boyutudur (tabanındaki vektör sayısı). $\dim(\{0\}) = 0$'dır.
$V = \mathbb{R}^3$ olsun. $W_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; z = 0\}$ ($xy$-düzlemi) ve $W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;|\; x = 0\}$ ($yz$-düzlemi) alt uzaylarını ele alalım.
$\dim(W_1 + W_2)$'yi hesaplayın.
1. Adım: Boyutları belirleyelim:
$W_1$: $xy$-düzlemi → $\dim(W_1) = 2$
$W_2$: $yz$-düzlemi → $\dim(W_2) = 2$
2. Adım: Kesişimi bulalım:
$W_1 \cap W_2$: $z=0$ ve $x=0$ → $y$-ekseni
3. Adım: Temel boyut bağıntısını uygulayalım:
✅ $\dim(W_1 + W_2) = 3$'tür. Yani $W_1 + W_2 = \mathbb{R}^3$'tür.
$V = \mathbb{R}^4$ olsun. $W_1$ ve $W_2$, $\mathbb{R}^4$'ün alt uzayları olsun. $\dim(W_1) = 3$ ve $\dim(W_2) = 2$ veriliyor.
$\dim(W_1 \cap W_2)$ için olası değer aralığını bulun.
1. Adım: Kesişim boyutunun üst sınırı:
$\dim(W_1 \cap W_2) \le \min\{\dim(W_1), \dim(W_2)\} = \min\{3,2\} = 2$
2. Adım: Kesişim boyutunun alt sınırı:
$\dim(W_1 + W_2) \le \dim(\mathbb{R}^4) = 4$ olduğundan:
3. Adım: Sonuç:
✅ $1 \le \dim(W_1 \cap W_2) \le 2$'dir. Yani kesişimin boyutu 1 veya 2 olabilir.
$V = P_3(\mathbb{R})$ (derecesi en fazla 3 olan polinomlar) olsun. $W_1 = \{p(x) \in P_3 \;|\; p(0) = 0\}$ ve $W_2 = \{p(x) \in P_3 \;|\; p(1) = 0\}$ alt uzaylarını ele alalım.
$\dim(W_1 \cap W_2)$'yi hesaplayın.
1. Adım: Boyutları belirleyelim:
$\dim(P_3) = 4$
$p(0)=0$ koşulu 1 lineer kısıtlama getirir → $\dim(W_1) = 3$
$p(1)=0$ koşulu 1 lineer kısıtlama getirir → $\dim(W_2) = 3$
2. Adım: Toplamın boyutunu bulalım:
$W_1 + W_2$, $P_3$'ü kapsar mı? $p(0)=0$ ve $p(1)=0$ koşulları 2 farklı lineer kısıtlama olduğu için toplam $P_3$'e eşittir.
3. Adım: Temel boyut bağıntısını uygulayalım:
✅ $\dim(W_1 \cap W_2) = 2$'dir.
$V = \mathbb{R}^5$ olsun. $W_1$ ve $W_2$, $\mathbb{R}^5$'in alt uzayları olsun. $\dim(W_1) = 3$, $\dim(W_2) = 2$ ve $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ veriliyor.
$\dim(W_1 \oplus W_2)$'yi hesaplayın.
$W_1 \cap W_2 = \{0\}$ olduğu için direkt toplamdır.
Direkt toplamda boyutlar doğrudan toplanır:
✅ $\dim(W_1 \oplus W_2) = 5$'tir. Yani $W_1 \oplus W_2 = \mathbb{R}^5$'tir.
$V$ sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. $W_1 \le W_2 \le V$ olsun. $\dim(W_1) = 2$, $\dim(W_2) = 4$ ve $\dim(V) = 7$ veriliyor.
$W_1 + W_2$ ve $W_1 \cap W_2$'nin boyutlarını bulun.
$W_1 \le W_2$ olduğu için:
Temel boyut bağıntısını kontrol edelim:
✅ $\dim(W_1 + W_2) = 4$ ve $\dim(W_1 \cap W_2) = 2$'dir.
| Durum | Formül | Açıklama |
|---|---|---|
| Genel | $\dim(W_1+W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)$ | Her zaman geçerli |
| Direkt Toplam | $\dim(W_1 \oplus W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2)$ | $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ |
| İç İçe | $\dim(W_1+W_2) = \dim(W_2)$ | $W_1 \subseteq W_2$ |
| Eşitsizlik | $\dim(W_1 \cap W_2) \le \min\{\dim(W_1), \dim(W_2)\}$ | Kesişim boyutu |
| Eşitsizlik | $\dim(W_1 + W_2) \ge \max\{\dim(W_1), \dim(W_2)\}$ | Toplam boyutu |