Bir fonksiyonu $n$. dereceden Taylor polinomuyla yaklaştırdığımızda ortaya çıkan hata (kalan) ne kadardır? Lagrange Kalan Teoremi'ni ve Cauchy Kalan Formülü'nü türeteceğiz, yaklaşım hatası için üst sınır hesaplamayı öğreneceğiz ve somut örneklerle pekiştireceğiz.
$f$ fonksiyonu $a$ noktası çevresinde $n$ kez türevlenebilir olsun. $n$. dereceden Taylor polinomu:
Gerçek değer ile polinomun farkı kalan terim (remainder) $R_n(x)$'dir:
Kalan, yaklaşımın ne kadar "yanıltıcı" olduğunu ölçer. $|R_n(x)|$ küçükse polinom $f$'ye iyi bir yaklaşımdır.
$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k$$ Tüm türevler $x=0$'da hesaplanır. $e^x,\, \sin x,\, \cos x$ gibi fonksiyonlar için doğal merkez.
$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$ Türevlerin $x=a$'da kolay hesaplandığı durumlarda kullanılır. Maclaurin, $a=0$ özel halidir.
En çok kullanılan kalan formülü, Lagrange formudur. Teoreme göre:
$f$ fonksiyonu $a$ ile $x$ içeren açık bir aralıkta $(n+1)$ kez türevlenebilir olsun. O zaman $a$ ile $x$ arasında bir $c$ sayısı vardır ki:
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$$c$ değeri $a$ ile $x$ arasında bir noktadır; tam yeri bilinmez. Bu yüzden pratikte $|f^{(n+1)}|$'nin maksimumunu kullanarak üst sınır elde ederiz.
$[a,x]$ (ya da $[x,a]$) aralığında $\bigl|f^{(n+1)}(t)\bigr| \le M$ ise:
Bu formül derslerde ve sınavlarda en sık sorulan biçimidir. $M$'yi bulmak için ilgili aralıktaki türevin mutlak değerinin maksimumunu tahmin etmek yeterlidir.
Kalan terimi ifade etmenin başka bir biçimi de Cauchy formülüdur:
Lagrange formuyla karşılaştırırsak: her ikisi de $c$'nin varlığını garanti eder, ancak $c$'nin $(x-c)^n$ ve $(x-a)$ şeklinde ayrıştırılması bazı konvergens ispatlarında daha elverişlidir.
Hata sınırı tahminlerinde: Lagrange formu daha doğrudan ve sınav sorularında beklenen formdur.
Yakınsama ispatlarında (örneğin $R_n(x) \to 0$ göstermek): Cauchy formu bazen daha güçlü sonuçlar verir (örneğin $e^x$ serisinin her yerde yakınsadığının ispatı).
Kalan terimi bir integral olarak da yazılabilir; bu form türetme teorisinde temel bir yere sahiptir:
Bu ifadeye Lagrange Ortalama Değer Teoremi uygulanırsa Lagrange formu, Cauchy'nin Ortalama Değer Teoremi uygulanırsa Cauchy formu elde edilir.
Adım 1 — 3. dereceden Maclaurin polinomu ($a=0, n=3$).
$e^x$'in tüm türevleri $e^x$'tir; $x=0$'da hepsi $1$'e eşit olur:
Adım 2 — $x=0.1$ için yaklaşık değer.
Adım 3 — Hata sınırı.
$n=3$ için kalan $(n+1)=4$. türevi içerir: $f^{(4)}(t) = e^t$. $[0, 0.1]$ aralığında $e^t \le e^{0.1} < 1.11$, yani $M = 1.11$ alabiliriz:
Doğrulama: $e^{0.1} \approx 1.10517091...$, $P_3(0.1) \approx 1.10516\overline{6}$, gerçek hata $\approx 4.2 \times 10^{-6}$. Sınırımız tuttu. ✓
Kurulum. $\sin x$'in Maclaurin serisi yalnızca tek dereceli terimleri içerir, dolayısıyla $n$. dereceden polinomdan kalanı şöyle sınırlandırırız ($a=0$, $x \le \pi/4$):
$\sin$'in tüm türevleri $\pm\sin$ veya $\pm\cos$, mutlak değerce $\le 1$ olduğundan $M = 1$.
Hangi $n$ yeterli? $|R_n| < 10^{-4}$ istiyoruz:
| $n$ | $(n+1)$ | $(\pi/4)^{n+1}/(n+1)!$ | $< 10^{-4}$? |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | $\approx 0.3084$ | Hayır |
| 3 | 4 | $\approx 0.0080$ | Hayır |
| 5 | 6 | $\approx 6.4 \times 10^{-5}$ | Evet ✓ |
Sonuç: $n = 5$ (yani $P_5(x) = x - x^3/6 + x^5/120$) yeterlidir. $[-\pi/4, \pi/4]$ aralığında hata $10^{-4}$'ten küçüktür.
Adım 1 — Türevler ve polinom.
Adım 2 — $x=1.2$ için yaklaşım.
Adım 3 — Hata sınırı ($n=2$, üçüncü türev devreye girer).
$f'''(t) = 2/t^3$. $[1, 1.2]$ aralığında $t \ge 1$, dolayısıyla $|f'''(t)| = 2/t^3 \le 2/1^3 = 2$, yani $M=2$:
Doğrulama: $\ln(1.2) \approx 0.18232$, polinom $\approx 0.18$, gerçek hata $\approx 0.00232$. Sınırımız tuttu. ✓
Taylor serisinin $f(x)$'e eşit olması için kalan terimin sıfıra gitmesi gerekir:
Herhangi sabit $x$ için $|f^{(n+1)}(c)| = e^c \le e^{|x|}$ sabittir. Dolayısıyla: $$|R_n(x)| \le \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1} \xrightarrow{n\to\infty} 0$$ çünkü $|x|^{n+1}/(n+1)! \to 0$ her sabit $x$ için. ∎
| Form | İfade | Ne Zaman Kullanılır? |
|---|---|---|
| Lagrange Kalânı | $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ | Hata sınırı hesaplamak, sınav soruları |
| Lagrange Hata Sınırı | $|R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ | Somut $\epsilon$ hata tahmini |
| Cauchy Kalânı | $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n(x-a)$ | Bazı yakınsama ispatları |
| İntegral Kalânı | $R_n(x) = \dfrac{1}{n!}\displaystyle\int_a^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t)\,dt$ | Lagrange ve Cauchy formlarını türetmek |
▪️ Kalan $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$: polinomun ne kadar "eksik kaldığını" gösterir.
▪️ Lagrange hata sınırı $|R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ — pratik tüm tahminlerin temel formülü.
▪️ $M$: $(n+1)$. türevin ilgili aralıktaki mutlak maksimumu.
▪️ $R_n(x) \to 0$ ise Taylor serisi $f(x)$'e eşittir; sadece yaklaşmaz.
Bir sonraki adımda kuvvet serilerinin yakınsama yarıçapı ve aralığı incelenecektir.