Bu modülde, gerçek hayat problemlerini Lagrange Çarpanı yöntemiyle nasıl matematiksel modele dönüştüreceğimizi öğreneceğiz. Her problem için: değişkenleri belirleme, amaç fonksiyonunu yazma, kısıtları bulma ve Lagrangian'ı kurma adımlarını uygulayacağız.
1. Değişkenleri belirle: $x,y,z$: prizmanın kenar uzunlukları
2. Amaç fonksiyonu: $f(x,y,z) = xyz$ (maksimize)
3. Kısıt: $g(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz - 54 = 0$
4. Lagrange fonksiyonu:
5. FOC (4 denklem):
6. Çözüm:
İlk üç denklemden $x=y=z$ çıkar (pozitif çözüm).
Yüzey alanından: $6x^2 = 54 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$
7. Sonuç: Maksimum hacim $V = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ birim³ (küp).
Sabit yüzey alanında en büyük hacim küp şeklinde elde edilir. Bu, Lagrange Çarpanı'nın en klasik uygulamalarından biridir.
1. Değişkenleri belirle: $x,y,z$: üçgenin kenar uzunlukları
2. Amaç fonksiyonu: $f(x,y,z)$ (alan) $= \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$ (Heron formülü)
Burada $s = \frac{x+y+z}{2} = 6$ (yarı çevre).
Alanın karesini maksimize etmek aynı sonucu verir:
3. Kısıt: $g(x,y,z) = x + y + z - 12 = 0$
4. Lagrange fonksiyonu:
5. FOC:
6. Çözüm:
İlk üç denklemden: $(6-y)(6-z) = (6-x)(6-z) = (6-x)(6-y)$
Bu eşitliklerden $x=y=z$ çıkar.
Kısıttan: $3x = 12 \Rightarrow x = 4$, $y=4$, $z=4$ (eşkenar üçgen)
7. Sonuç: Maksimum alan $A = \sqrt{6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ birim².
Çevresi sabit olan tüm üçgenler arasında eşkenar üçgen en büyük alana sahiptir. Bu, Lagrange Çarpanı'nın klasik bir geometri uygulamasıdır.
Sözel problemleri Lagrange Çarpanı ile modellemek için 5 adım izlenir: (1) Değişkenleri belirle, (2) Amaç fonksiyonunu yaz, (3) Kısıtları yaz, (4) Lagrangian'ı kur, (5) FOC'leri çöz. Bu modülde 2 farklı uygulama gördük: dikdörtgenler prizması hacim maksimizasyonu ve çevresi sabit üçgenin maksimum alanı.
Sözel problemleri modellemeyi öğrendik. Bir sonraki modülde "İkinci Mertebe Koşullar (Bordered Hessian)" başlığı altında bulduğumuz noktaların maksimum mu minimum mu olduğunu nasıl belirleyeceğimizi öğreneceğiz.