Anasayfa / Üniversite / Lagrange Çarpanı
Quizler Videolar

📐 Genel Formülasyon: $n$ Değişken, $m$ Kısıt

08 · Lagrange Yönteminin En Genel Hali

1. Genel Problem Tanımı

En genel haliyle Lagrange Çarpanı yöntemi, aşağıdaki türdeki optimizasyon problemlerini çözer:

$$ \text{Amaç: } \quad \text{Maksimize veya minimize } f(x_1, x_2, \dots, x_n) $$ $$ \text{Kısıtlar: } \quad g_j(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0, \quad j = 1, 2, \dots, m $$
$n$ değişken, $m$ kısıt ($m < n$)

Burada $f$ ve tüm $g_j$'ler sürekli türevlenebilir fonksiyonlardır. Kısıt sayısı $m$, değişken sayısı $n$'den küçük olmalıdır ($m < n$). Aksi halde sistem aşırı kısıtlı olur ve genellikle çözüm yoktur.

2. Genel Lagrange Fonksiyonu

Her kısıt için bir Lagrange çarpanı ($\lambda_j$) kullanılır. Genel Lagrange fonksiyonu:

$$ L(x_1, \dots, x_n, \lambda_1, \dots, \lambda_m) = f(x_1, \dots, x_n) - \sum_{j=1}^{m} \lambda_j \, g_j(x_1, \dots, x_n) $$
$n+m$ değişkenli Lagrange fonksiyonu
📌 TOPLAM DEĞİŞKEN SAYISI

Lagrange fonksiyonu $n+m$ değişkene sahiptir: $n$ orijinal değişken ($x_1, \dots, x_n$) ve $m$ Lagrange çarpanı ($\lambda_1, \dots, \lambda_m$).

3. Genel Birinci Mertebe Koşullar (FOC)

Lagrange fonksiyonunun tüm değişkenlere göre kısmi türevleri sıfıra eşitlenir. Bu bize $n+m$ denklem verir:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_i} &= \frac{\partial f}{\partial x_i} - \sum_{j=1}^{m} \lambda_j \frac{\partial g_j}{\partial x_i} = 0, \quad i = 1, \dots, n \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_j} &= -g_j(x_1, \dots, x_n) = 0, \quad j = 1, \dots, m \end{aligned} $$
$n+m$ denklemli sistem

İlk $n$ denklem, $\nabla f = \sum \lambda_j \nabla g_j$ vektör denkleminin bileşen formudur. Son $m$ denklem ise kısıtların kendisidir.

📌 GRADYAN FORMU

Vektör formunda, genel birinci mertebe koşul:

$$ \nabla f = \sum_{j=1}^{m} \lambda_j \nabla g_j $$

Yani $f$'nin gradyanı, kısıtların gradyanlarının doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir.

4. Genel Duyarlılık Yorumu

Kısıtlar $g_j(x) = c_j$ şeklinde verildiğinde, $\lambda_j$ değeri $j$. kısıttaki bir birimlik değişimin amaç fonksiyonuna olan marjinal etkisini gösterir:

$$ \lambda_j = \frac{\partial f^*}{\partial c_j} $$
$j$. kısıtın gölge fiyatı

Bu, her bir kısıtın probleme ne kadar önemli olduğunu anlamak için kullanılır. Büyük $\lambda_j$ değerleri, o kısıtın aktif ve kritik olduğunu gösterir.

5. Örnek: 4 Değişkenli ve 2 Kısıtlı Problem

ÇÖZÜM $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1x_2x_3x_4$ kısıtlar: $x_1+x_2+x_3+x_4=4$ ve $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=4$

1. Değişkenler: $x_1, x_2, x_3, x_4$ (4 değişken)

2. Kısıtlar: $g_1=x_1+x_2+x_3+x_4-4=0$, $g_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-4=0$ (2 kısıt)

3. Lagrange fonksiyonu (6 değişkenli):

$L = x_1x_2x_3x_4 - \lambda_1(x_1+x_2+x_3+x_4-4) - \lambda_2(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-4)$

4. FOC (6 denklem):

$L_{x_1} = x_2x_3x_4 - \lambda_1 - 2\lambda_2x_1 = 0$
$L_{x_2} = x_1x_3x_4 - \lambda_1 - 2\lambda_2x_2 = 0$
$L_{x_3} = x_1x_2x_4 - \lambda_1 - 2\lambda_2x_3 = 0$
$L_{x_4} = x_1x_2x_3 - \lambda_1 - 2\lambda_2x_4 = 0$
$L_{\lambda_1} = -(x_1+x_2+x_3+x_4-4) = 0$
$L_{\lambda_2} = -(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-4) = 0$

5. Çözüm Stratejisi:

İlk dört denklemde simetri vardır. $x_1=x_2=x_3=x_4$ olduğunu varsayalım. O zaman:

Kısıt 1: $4x=4 \Rightarrow x=1$
Kısıt 2: $4x^2=4 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1$ veya $x=-1$
$x=1$ için $f=1$ (maksimum), $x=-1$ için $f=1$ (maksimum)

✅ SONUÇ

$(1,1,1,1)$ ve $(-1,-1,-1,-1)$ noktaları $f=1$ ile maksimumdur. Bu örnek, genel formülasyonun simetrik çözümler verdiğini göstermektedir. $\lambda_1$ ve $\lambda_2$ değerleri, bu simetrik çözümden hesaplanabilir.

📌 ÖZET

$n$ değişkenli ve $m$ kısıtlı problem için Lagrange fonksiyonu $L = f - \sum \lambda_j g_j$ ile $n+m$ denklemli sistem kurulur. $\lambda_j$ değerleri, $j$. kısıtın gölge fiyatı olarak yorumlanır. Bu genel formülasyon, Lagrange yönteminin çok boyutlu optimizasyon problemlerine uygulanmasını sağlar.

📌 BİR SONRAKİ ADIM

Genel formülasyonu öğrendik. Bir sonraki modülde "KKT ile Bağlantı" başlığı altında eşitsizlik kısıtlarına geçişi ve Karush-Kuhn-Tucker koşullarını inceleyeceğiz.

← Fasikül ana sayfasına dön