Anasayfa / Üniversite / Lagrange Çarpanı
Quizler Videolar

🧮 Çözüm Teknikleri (2 Değişkenli)

03 · $L(x,y,\lambda)$ ile 3 Denklemli Sistem

1. 3 Denklemli Sistemin Kurulması

Lagrange fonksiyonu $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$ için birinci mertebe koşullar (FOC):

$$ \begin{aligned} L_x &= f_x(x,y) - \lambda g_x(x,y) = 0 \\ L_y &= f_y(x,y) - \lambda g_y(x,y) = 0 \\ L_\lambda &= -g(x,y) = 0 \quad \Rightarrow \quad g(x,y) = 0 \end{aligned} $$
3 bilinmeyenli ($x, y, \lambda$) denklem sistemi
📌 NOT

Bu sistem her zaman 3 denklem ve 3 bilinmeyenden oluşur. Ancak denklemler doğrusal olmayabilir. Çözüm stratejisi, sistemin doğrusal olup olmamasına göre değişir.

2. Çözüm Stratejileri

1
$\lambda$'yı yok et
$L_x=0$ ve $L_y=0$ denklemlerinden $\lambda$'yı çekip eşitle. Bu, $x$ ve $y$ arasında bir ilişki verir.
2
Kısıt ile birleştir
$x$ ve $y$ arasındaki ilişkiyi $g(x,y)=0$ kısıtında yerine koy. Tek bilinmeyenli bir denklem elde edersin.
3
Çöz ve $\lambda$'yı bul
$x$ ve $y$'yi bulduktan sonra $\lambda$'yı hesapla. Birden fazla çözüm olabilir.

3. Doğrusal Sistemler

Eğer $f$ ve $g$ doğrusal fonksiyonlar ise, sistem doğrusal olur ve matris yöntemleriyle çözülebilir.

ÖRNEK $f(x,y)=3x+4y$, $g(x,y)=x+y-5=0$

1. Lagrange fonksiyonu:

$L = 3x+4y - \lambda(x+y-5)$

2. FOC:

$L_x = 3 - \lambda = 0$
$L_y = 4 - \lambda = 0$
$L_\lambda = -(x+y-5) = 0$

3. Çözüm: $3-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=3$, $4-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=4$. Burada çelişki var! Yani bu sistemin çözümü yoktur. Bu durumda $f$'nin kısıt üzerinde ekstremumu yoktur (fonksiyon doğrusal olduğu için).

⚠️ UYARI

Doğrusal sistemlerde çözüm olmayabilir veya sonsuz çözüm olabilir. Bu durumda fonksiyonun kısıt üzerinde ekstremumu yoktur veya tüm noktalar ekstremumdur.

4. Doğrusal Olmayan Sistemler

Çoğu problemde $f$ ve $g$ doğrusal değildir. Bu durumda sistem doğrusal olmayan olur ve çözüm için ikame veya yok etme yöntemleri kullanılır.

5. Örnek 1: $f(x,y)=x^2+y^2$, $g(x,y)=x+y-1=0$

ÇÖZÜM $f(x,y)=x^2+y^2$ kısıt: $x+y=1$

1. Lagrange fonksiyonu:

$L = x^2+y^2 - \lambda(x+y-1)$

2. FOC:

$L_x = 2x - \lambda = 0$
$L_y = 2y - \lambda = 0$
$L_\lambda = -(x+y-1) = 0$

3. $\lambda$'yı yok edelim:

$2x = \lambda$ ve $2y = \lambda \Rightarrow 2x = 2y \Rightarrow x = y$

4. Kısıtı kullanalım:

$x+y=1 \Rightarrow x+x=1 \Rightarrow x=0.5,\; y=0.5,\; \lambda=1$

5. Sonuç: $(0.5, 0.5)$ noktasında $f_{\text{min}} = 0.5$

6. Örnek 2: $f(x,y)=xy$, $g(x,y)=x^2+y^2-1=0$

ÇÖZÜM $f(x,y)=xy$ kısıt: $x^2+y^2=1$ (birim çember)

1. Lagrange fonksiyonu:

$L = xy - \lambda(x^2+y^2-1)$

2. FOC:

$L_x = y - 2\lambda x = 0$
$L_y = x - 2\lambda y = 0$
$L_\lambda = -(x^2+y^2-1) = 0$

3. $\lambda$'yı yok edelim:

$y = 2\lambda x$ ve $x = 2\lambda y$ ⇒ $\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{x}{y} \Rightarrow x^2 = y^2 \Rightarrow x = \pm y$

4. Kısıtı kullanalım:

Eğer $x=y$ ise: $2x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1/\sqrt{2}$, $y=\pm 1/\sqrt{2}$
Eğer $x=-y$ ise: $2x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1/\sqrt{2}$, $y=\mp 1/\sqrt{2}$

5. $\lambda$'yı hesaplayalım:

$y = 2\lambda x \Rightarrow \lambda = y/(2x)$
$x=y$ için: $\lambda = 1/2$
$x=-y$ için: $\lambda = -1/2$

6. Sonuç:

$f(x,y)=xy$ değerleri:
$x=y$ için: $f=1/2$ (maksimum)
$x=-y$ için: $f=-1/2$ (minimum)

✅ SONUÇ

$(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ ve $(-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ noktalarında maksimum $1/2$, $(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ ve $(1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ noktalarında minimum $-1/2$ elde edilir.

📌 ÖZET

$L(x,y,\lambda)$ ile kurulan 3 denklemli sistem, Lagrange Çarpanı yönteminin cebirsel kalbidir. $\lambda$'yı yok ederek $x$ ve $y$ arasında ilişki bulur, kısıtla birleştirerek çözüme ulaşırız. Doğrusal olmayan sistemlerde birden fazla çözüm çıkabilir; her birini $f$'de değerlendirerek maksimum/minimum ayırt edilir.

📌 BİR SONRAKİ ADIM

2 değişkenli sistemleri çözmeyi öğrendik. Bir sonraki modülde "3 Değişkenli ve Çok Kısıtlı Sistemler" başlığı altında $L(x,y,z,\lambda)$ ve daha karmaşık sistemleri inceleyeceğiz.

← Fasikül ana sayfasına dön