Lagrange Çarpanı $\lambda$, sadece bir ara değişken değildir. $\lambda$'nın ekonomik, fiziksel ve matematiksel olarak derin bir anlamı vardır. $\lambda$, kısıttaki bir birimlik değişimin amaç fonksiyonuna olan marjinal etkisini ölçer.
$\lambda$, kısıt $g(x,y)=c$ şeklinde verildiğinde, $c$'deki bir birimlik artışın $f$'nin optimum değerinde yarattığı değişim olarak yorumlanır:
Burada $f^*$ optimal değerdir.
Ekonomide $\lambda$'ya gölge fiyat (shadow price) denir. Bir kaynağın (kısıtın) marjinal değerini gösterir.
Bir firmanın üretim problemi $Q(K,L)$'yi $rK+wL=C$ bütçe kısıtı altında maksimize ettiğinde, $\lambda$ bütçedeki 1 birimlik artışın üretime marjinal katkısıdır. Yani firma bütçesini 1 birim artırırsa, üretimi $\lambda$ birim artar.
$\lambda$, optimizasyon sonuçlarının kısıtlardaki değişime duyarlılığını ölçer. Mühendislikte ve optimizasyonda bu, tasarım parametrelerinin değişiminin performansa etkisini anlamak için kullanılır.
Bir yapının ağırlığını minimize ederken mukavemet kısıtı kullanılıyorsa, $\lambda$ mukavemet kısıtındaki 1 birimlik gevşemenin ağırlıkta yarattığı azalmayı gösterir. Yani $\lambda$ ne kadar büyükse, o kısıt o kadar aktif ve önemlidir.
Bir firmanın üretim fonksiyonu $Q(K,L)=K^{0.3}L^{0.7}$ olsun. Sermaye maliyeti $r=2$, emek maliyeti $w=3$ ve bütçe $C=100$ olsun.
Daha önce bu problemi çözmüştük: $K \approx 17.42$, $L \approx 21.72$, $\lambda \approx 0.286$.
Yorum: $\lambda = 0.286$ demektir ki, firmanın bütçesini 1 birim (1 TL) artırması, üretimi yaklaşık 0.286 birim artırır. Yani her ekstra TL'nin üretime marjinal katkısı 0.286'dır.
Eğer firma bütçesini 10 TL artırırsa, üretim yaklaşık $10 \times 0.286 = 2.86$ birim artar. Bu, firmanın ek bütçe ayırmaya değip değmeyeceğine karar vermesinde kullanılır.
Bir mühendis, belirli bir mukavemet kısıtını sağlayan en hafif kirişi tasarlamak istiyor. Ağırlık $W(x,y)=xy$ (kesit alanı) ve mukavemet $S(x,y)=x^2y$ olsun. Kısıt: $S(x,y)=100$ (minimum mukavemet).
Lagrange fonksiyonu: $L = xy - \lambda(x^2y - 100)$
FOC: $L_x = y - 2\lambda xy = 0$, $L_y = x - \lambda x^2 = 0$, $L_\lambda = -(x^2y-100)=0$
Çözüm: $x=2$, $y=25$, $\lambda = 0.5$
Yorum: $\lambda = 0.5$ demektir ki, mukavemet kısıtındaki 1 birimlik gevşeme (yani minimum mukavemeti 100'den 101'e çıkarmak) ağırlığı yaklaşık 0.5 birim artırır. Yani her ekstra mukavemet birimi için ağırlık 0.5 birim artar.
Eğer mukavemeti 10 birim artırmak gerekiyorsa, ağırlık $10 \times 0.5 = 5$ birim artar. Mühendis, bu ek ağırlığın kabul edilebilir olup olmadığına karar verir.
Daha önce bu problemi çözmüştük: $x=5$, $y=5$, $\lambda = 2.5$.
Yorum: Çevre kısıtı $2x+2y=20$ şeklinde verilmişti. Kısıtı $g(x,y)=2x+2y-20=0$ olarak yazalım.
$\lambda = 2.5$ demektir ki, çevredeki 1 birimlik artış (yani kısıtın sağ tarafını 20'den 21'e çıkarmak) alanı yaklaşık 2.5 birim artırır.
Kontrol: Çevre 21 olsaydı, $x=y=21/4=5.25$, alan $5.25^2=27.5625$ olurdu. Eski alan 25 idi. Fark: $27.5625-25=2.5625 \approx 2.5$. $\lambda$'nın tahmini oldukça doğru!
$\lambda = 2.5$, çevredeki her 1 birimlik artışın alanı yaklaşık 2.5 birim artırdığını gösterir. Bu, dikdörtgenin çevresini artırmanın alana marjinal etkisidir.
Lagrange Çarpanı $\lambda$, kısıttaki bir birimlik değişimin amaç fonksiyonuna olan marjinal etkisini ölçer. Ekonomide gölge fiyat, mühendislikte duyarlılık katsayısı olarak yorumlanır. $\lambda$'nın büyüklüğü, o kısıtın ne kadar aktif ve önemli olduğunu gösterir.
$\lambda$'nın anlamını öğrendik. Bir sonraki modülde "Genel Formülasyon: n Değişken, m Kısıt" başlığı altında Lagrange yönteminin en genel halini inceleyeceğiz.