Lagrange Çarpanı Nedir? – Lagrange Çarpanı

1. Problem Tanımı

Lagrange Çarpanı yöntemi, aşağıdaki türdeki kısıtlı optimizasyon problemlerini çözmek için kullanılır:

$$ \text{Amaç: } \quad \text{Maksimize veya minimize } f(x,y) $$ $$ \text{Kısıt: } \quad g(x,y) = 0 $$ $f$: amaç fonksiyonu, $g$: eşitlik kısıtı

Burada $f$ ve $g$, sürekli türevlenebilir fonksiyonlardır. Amaç, $g(x,y)=0$ eğrisi (veya yüzeyi) üzerinde kalarak $f$'nin ekstremum (maksimum veya minimum) değerlerini bulmaktır.

2. Lagrange Çarpanı Teoremi

📌 TEOREM

$f$ ve $g$ sürekli türevlenebilir fonksiyonlar olsun. Eğer $(x^*, y^*)$ noktası $g(x,y)=0$ kısıtı altında $f$'nin bir yerel ekstremumu ise ve $\nabla g(x^*, y^*) \neq 0$ ise, öyle bir $\lambda$ gerçel sayısı vardır ki:

\nabla f(x^*, y^*) = \lambda \, \nabla g(x^*, y^*)

Bu $\lambda$ sayısına Lagrange Çarpanı denir.

Teorem, optimum noktada gradyanların paralel olduğunu söyler. Yani $\nabla f$ ve $\nabla g$ vektörleri aynı doğrultudadır.

3. Lagrange Fonksiyonu (Lagrangian)

Teoremdeki $\nabla f = \lambda \nabla g$ koşulunu cebirsel olarak çalışmak için Lagrange fonksiyonu tanımlanır:

$$ L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda \, g(x, y) $$ Lagrange fonksiyonu (Lagrangian)

💡 NEDEN EKSİ İŞARETİ?

$L = f - \lambda g$ formu, türevler alındığında $\nabla f = \lambda \nabla g$ koşulunu doğrudan verir. Bazı kaynaklarda $L = f + \lambda g$ kullanılır; bu durumda $\lambda$'nın işareti değişir, ancak kritik noktalar aynı kalır.

4. Birinci Mertebe Koşullar (FOC)

Lagrange fonksiyonunun tüm değişkenlere göre kısmi türevlerini alıp sıfıra eşitlersek, üç bilinmeyenli ($x, y, \lambda$) bir denklem sistemi elde ederiz:

$$ \frac{\partial L}{\partial x} = f_x - \lambda g_x = 0 $$ x'e göre türev

$$ \frac{\partial L}{\partial y} = f_y - \lambda g_y = 0 $$ y'ye göre türev

$$ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -g(x,y) = 0 \quad \Rightarrow \quad g(x,y) = 0 $$ λ'ya göre türev (kısıtın kendisi)

Bu üç denklem, $\nabla f = \lambda \nabla g$ vektör denkleminin bileşen formudur. İlk iki denklem $\nabla f = \lambda \nabla g$'yi, üçüncü denklem ise kısıtı verir.

5. Gradyan Formu ve Özet

📊 ÖZET

Lagrange Çarpanı Yöntemi (2 değişkenli):

Lagrangian
$L = f - \lambda g$

Gradyan Formu
$\nabla f = \lambda \nabla g$

Birinci Mertebe Koşullar
$f_x - \lambda g_x = 0$, $\quad f_y - \lambda g_y = 0$, $\quad g(x,y) = 0$

6. Örnek: $f(x,y) = xy$ ve $g(x,y) = x + y - 1 = 0$

ÇÖZÜM $f(x,y)=xy$ kısıt: $x+y=1$

1. Lagrange fonksiyonunu yazalım:

$$ L(x,y,\lambda) = xy - \lambda (x + y - 1) $$

2. Birinci mertebe koşulları yazalım:

$L_x = y - \lambda = 0$

$L_y = x - \lambda = 0$

$L_\lambda = -(x+y-1) = 0$

3. Sistemi çözelim:

$y = \lambda$ ve $x = \lambda \Rightarrow x = y$. Kısıttan: $x + x = 1 \Rightarrow x = 0.5$, $y = 0.5$, $\lambda = 0.5$.

$\boxed{f_{\text{max}} = 0.25}$ noktasında, $\nabla f = \langle 0.5, 0.5 \rangle = \lambda \langle 1, 1 \rangle$

✅ KONTROL

$\nabla f = \langle y, x \rangle = \langle 0.5, 0.5 \rangle$ ve $\nabla g = \langle 1, 1 \rangle$. $\lambda = 0.5$ için $\nabla f = 0.5 \cdot \nabla g$ sağlanır. Yani gradyanlar paraleldir.

📌 BİR SONRAKİ ADIM

Artık Lagrange Çarpanı yönteminin tanımını, Lagrange fonksiyonunu ve birinci mertebe koşulları öğrendik. Bir sonraki modülde "Neden Lagrange Çarpanı?" başlığı altında bu yöntemin neden işe yaradığını ve geometrik arka planını derinlemesine inceleyeceğiz.

← Fasikül ana sayfasına dön