Anasayfa / Üniversite / Lagrange Çarpanı
Quizler Videolar

📊 3 Değişkenli ve Çok Kısıtlı Sistemler

04 · $L(x,y,z,\lambda)$ ve Çoklu Lagrange Çarpanları

1. 3 Değişkenli Sistem: $L(x,y,z,\lambda)$

Üç değişkenli $f(x,y,z)$ fonksiyonunu $g(x,y,z)=0$ kısıtı altında optimize etmek istediğimizde, Lagrange fonksiyonu:

$$ L(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z) - \lambda \, g(x,y,z) $$
4 bilinmeyenli ($x,y,z,\lambda$) sistem

Birinci mertebe koşullar (FOC):

$$ \begin{aligned} L_x &= f_x - \lambda g_x = 0 \\ L_y &= f_y - \lambda g_y = 0 \\ L_z &= f_z - \lambda g_z = 0 \\ L_\lambda &= -g(x,y,z) = 0 \quad \Rightarrow \quad g(x,y,z) = 0 \end{aligned} $$
4 denklem, 4 bilinmeyen
📌 KURAL

$n$ değişkenli ve $m$ kısıtlı bir problemde, Lagrange fonksiyonu $n+m$ bilinmeyen içerir ($n$ değişken + $m$ çarpan). FOC ile $n+m$ denklem elde edilir.

2. Çok Kısıtlı Sistemler

İki kısıt durumunda ($g_1=0$ ve $g_2=0$), iki Lagrange çarpanı kullanılır:

$$ L(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,y,z) - \lambda \, g_1(x,y,z) - \mu \, g_2(x,y,z) $$
5 bilinmeyenli sistem

FOC:

$$ \begin{aligned} L_x &= f_x - \lambda g_{1x} - \mu g_{2x} = 0 \\ L_y &= f_y - \lambda g_{1y} - \mu g_{2y} = 0 \\ L_z &= f_z - \lambda g_{1z} - \mu g_{2z} = 0 \\ L_\lambda &= -g_1(x,y,z) = 0 \\ L_\mu &= -g_2(x,y,z) = 0 \end{aligned} $$
5 denklem, 5 bilinmeyen

3. Genel Formülasyon

$n$ değişkenli $f(x_1, \dots, x_n)$ ve $m$ kısıtlı ($g_j=0$, $j=1,\dots,m$) problem için:

$$ L(x_1, \dots, x_n, \lambda_1, \dots, \lambda_m) = f(x_1, \dots, x_n) - \sum_{j=1}^{m} \lambda_j \, g_j(x_1, \dots, x_n) $$
Genel Lagrange fonksiyonu

FOC ($n+m$ denklem):

$$ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_i} &= f_{x_i} - \sum_{j=1}^{m} \lambda_j \, g_{j,x_i} = 0 \quad (i=1,\dots,n) \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_j} &= -g_j(x_1, \dots, x_n) = 0 \quad (j=1,\dots,m) \end{aligned} $$
$n+m$ denklemli sistem

4. Örnek 1: $f(x,y,z)=xyz$, $g(x,y,z)=x+y+z-6=0$

ÇÖZÜM $f=xyz$ kısıt: $x+y+z=6$ ($x,y,z>0$)

1. Lagrange fonksiyonu:

$L = xyz - \lambda(x+y+z-6)$

2. FOC:

$L_x = yz - \lambda = 0$
$L_y = xz - \lambda = 0$
$L_z = xy - \lambda = 0$
$L_\lambda = -(x+y+z-6) = 0$

3. $\lambda$'yı yok edelim:

$yz = xz = xy = \lambda$
Pozitif $x,y,z$ için bu eşitliklerden $x=y=z$ çıkar.

4. Kısıtı kullanalım:

$x+y+z=6 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2,\; y=2,\; z=2,\; \lambda=4$

5. Sonuç: $(2,2,2)$ noktasında $f_{\text{max}} = 8$

✅ GEOMETRİK YORUM

Bu problem, sabit çevreli kutunun maksimum hacmini bulma problemidir. En büyük hacim küp şeklinde elde edilir.

5. Örnek 2: Çift Kısıtlı Problem

ÇÖZÜM $f(x,y,z)=xyz$ kısıtlar: $x+y+z=6$ ve $x^2+y^2=z^2$

1. Lagrange fonksiyonu (iki çarpan):

$L = xyz - \lambda(x+y+z-6) - \mu(x^2+y^2-z^2)$

2. FOC (5 denklem):

$L_x = yz - \lambda - 2\mu x = 0$
$L_y = xz - \lambda - 2\mu y = 0$
$L_z = xy - \lambda + 2\mu z = 0$
$L_\lambda = -(x+y+z-6) = 0$
$L_\mu = -(x^2+y^2-z^2) = 0$

3. Çözüm stratejisi:

Bu sistem doğrusal değildir. Çözüm için:
1. İlk üç denklemden $\lambda$'yı yok edin.
2. Kısıtlarla birleştirip $x,y,z$'yi bulun.
3. $\lambda$ ve $\mu$'yu hesaplayın.

💡 İPUCU

Bu tip sistemlerde, ilk üç denklemi birbirinden çıkarmak genellikle işe yarar. Örneğin $L_x - L_y = 0$ ile $x$ ve $y$ arasında ilişki bulunur.

4. Çözüm:

$L_x - L_y = (yz-xz) - 2\mu(x-y) = (y-x)z - 2\mu(x-y) = (y-x)(z+2\mu) = 0$
Benzer şekilde $L_y - L_z$ ve $L_z - L_x$'ten de ilişkiler elde edilir.
Buradan $x=y=z$ veya $x=-y$ gibi çözümler çıkar. Kısıtlarla birleştirilerek noktalar bulunur.

📌 ÖZET

Üç değişkenli problemlerde $L(x,y,z,\lambda)$ ile 4 denklemli sistem kurulur. Çok kısıtlı problemlerde her kısıt için ayrı bir Lagrange çarpanı eklenir ($\lambda, \mu, \nu, \dots$). Sistem boyutu $n+m$'dir. Çözüm genellikle doğrusal olmayan sistem çözümü gerektirir.

📌 BİR SONRAKİ ADIM

3 değişkenli ve çok kısıtlı sistemleri öğrendik. Bir sonraki modülde "Sözel Problemler ve Modelleme" başlığı altında gerçek hayat problemlerini Lagrange yöntemiyle nasıl modelleyeceğimizi öğreneceğiz.

← Fasikül ana sayfasına dön