Burulma (Torsion)

🎯 Bu Modülde Ne Öğreneceğiz?

Bir uzay eğrisinin binormal vektörünün nasıl döndüğünü ölçen burulma $\tau$'yu tanıyacağız. Eğrilik $\kappa$'nın eğrinin ne kadar büyüdüğünü ölçmesi gibi, burulma da eğrinin kendi oskülatör düzleminden ne kadar saptığını ölçer. Tanım, Frenet–Serret denklemleri, pratik hesaplama formülleri ve çözümlü örnekleri adım adım işleyeceğiz.

1. Hatırlatalım: T, N, B Çerçevesi

Parametrik bir uzay eğrisi $\mathbf{r}(t)$ verildiğinde üç dik birim vektör tanımlanır:

$$\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} \qquad \text{(Birim Teğet)}$$ $$\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|} \qquad \text{(Birim Normal)}$$ $$\mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t) \qquad \text{(Binormal)}$$ Frenet–Serret ortonormal çerçevesi

Bu üç vektör her nokta için bir hareketli çerçeve (moving frame) oluşturur. Eğrilik $\kappa$, teğet vektörün ne hızla döndüğünü anlatır. Burulma $\tau$ ise binormal vektörün ne hızla döndüğünü, yani eğrinin oskülatör düzlemini ne hızla terk ettiğini anlatır.

2. Burulmanın Tanımı

Binormal vektör $\mathbf{B}(s)$'yi yay uzunluğu $s$'ye göre türevlediğimizde, bu türev her zaman $\mathbf{N}$ yönünde olduğu kanıtlanabilir. Burulma bu oranı tanımlar:

$$\frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau\,\mathbf{N}$$ Burulmanın temel tanımı — yay uzunluğuna göre

Eksi işareti geleneksel olup $\tau > 0$ ile $\tau < 0$ arasındaki fark eğrinin sağa mı sola mı büküldüğünü gösterir.

💡 Geometrik Yorum

▪️ $\tau = 0$: Eğri bir düzlem içinde kalır (düzlemsel eğri). Binormal sabit, oskülatör düzlem değişmiyor.

▪️ $\tau \neq 0$: Eğri uzayda gerçekten "burulur". Ne kadar büyük $|\tau|$, o kadar hızlı düzlem değişimi.

▪️ Helis: Sabit $\kappa$ ve sabit $\tau$ — en simetrik uzay eğrisi.

Kısaca: $\kappa$ eğrinin kıvrılmasını, $\tau$ eğrinin burulmasını ölçer.

3. Frenet–Serret Denklemleri

T, N, B çerçevesinin türevleri, $\kappa$ ve $\tau$ ile birbirine bağlıdır:

$$\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa\,\mathbf{N}$$ $$\frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa\,\mathbf{T} + \tau\,\mathbf{B}$$ $$\frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau\,\mathbf{N}$$ Frenet–Serret denklemleri — yay uzunluğu parametrizasyonu

Bu sistem eğri geometrisinin tam bir özetini verir: yalnızca $\kappa(s)$ ve $\tau(s)$ bilinirse eğri öteleme ve dönme farkı gözetilmeksizin tamamen belirlenir (Temel Teoremi).

4. Pratik Hesaplama Formülleri

Gerçek problemlerde yay uzunluğu parametrizasyonu yapmak zahmetlidir. Genel parametre $t$ kullanıldığında burulma şu formüllerle hesaplanır:

4.1 — Determinant Formülü

$$\tau = \frac{(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2}$$ En yaygın kullanılan formül — genel t parametresi

Burada $\mathbf{r}' = d\mathbf{r}/dt$, $\mathbf{r}'' = d^2\mathbf{r}/dt^2$, $\mathbf{r}''' = d^3\mathbf{r}/dt^3$ olmak üzere:

$$(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}''' = \det\begin{pmatrix} x' & y' & z' \\ x'' & y'' & z'' \\ x''' & y''' & z''' \end{pmatrix}$$ Skalar üçlü çarpım — 3×3 determinant olarak

⚠️ Dikkat

Payda $|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2$'dir; bu aynı zamanda $(|\mathbf{r}'|^2 \cdot \kappa)^2$ ile eşdeğerdir. Eğer $\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' = \mathbf{0}$ ise eğri bir doğrudur ve burulma tanımsızdır.

4.2 — $\kappa$ ve $\mathbf{B}$'den Türetme

Önce $\mathbf{T}$, $\mathbf{N}$, $\mathbf{B}$ hesaplanmışsa:

$$\tau = -\frac{d\mathbf{B}}{ds} \cdot \mathbf{N} = -\frac{\mathbf{B}'(t) \cdot \mathbf{N}(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}$$ B ve N biliniyorsa — alternatif yol

5. Adım Adım Hesaplama Yöntemi

$\mathbf{r}'(t)$, $\mathbf{r}''(t)$, $\mathbf{r}'''(t)$ türevlerini al

Her bileşeni ($x$, $y$, $z$) $t$'ye göre sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü kez türevle.

$\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''$ çapraz çarpımını hesapla

$3 \times 3$ determinant yöntemiyle ya da bileşen bileşen çarpımla çapraz çarpımı bul.

Pay: $(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''$ nokta çarpımını hesapla

2. adımın sonucunu $\mathbf{r}'''$ ile nokta çarp. Ortaya çıkan tek sayı pay olacak.

Payda: $|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2$ büyüklüğünün karesini hesapla

2. adımdaki vektörün uzunluğunun karesini al.

$\tau = \text{pay} / \text{payda}$

Sonuç pozitifse eğri "sağa burulur", negatifse "sola burulur", sıfırsa düzlemseldir.

6. Çözümlü Örnekler

ÖRNEK 1 Dairesel Helis: $\mathbf{r}(t) = (a\cos t,\, a\sin t,\, bt)$

Adım 1 — Türevler.

\mathbf{r}' = (-a\sin t,\; a\cos t,\; b)$$ $$\mathbf{r}'' = (-a\cos t,\; -a\sin t,\; 0)$$ $$\mathbf{r}''' = (a\sin t,\; -a\cos t,\; 0)

Adım 2 — Çapraz çarpım $\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''$.

\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' = \det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-a\sin t&a\cos t&b\\-a\cos t&-a\sin t&0\end{pmatrix}$$ $$= (ab\sin t,\;-ab\cos t,\;a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t) = (ab\sin t,\;-ab\cos t,\;a^2)

Adım 3 — Pay.

(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}''' = ab\sin t\cdot a\sin t + (-ab\cos t)\cdot(-a\cos t) + a^2\cdot 0$$ $$= a^2 b\sin^2 t + a^2 b\cos^2 t = a^2 b

Adım 4 — Payda.

|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2 = a^2b^2\sin^2 t + a^2b^2\cos^2 t + a^4 = a^2b^2 + a^4 = a^2(a^2+b^2)

Adım 5 — Burulma.

$$\boxed{\tau = \frac{a^2 b}{a^2(a^2+b^2)} = \frac{b}{a^2+b^2}}$$ Dairesel helisin burulması — sabit! (eğrilik de sabittir: κ = a/(a²+b²))

$b = 0$ alınırsa çember elde edilir ve $\tau = 0$ — düzlemsel eğri, beklenen sonuç.

ÖRNEK 2 Düzlemsel eğri kontrolü: $\mathbf{r}(t) = (t,\, t^2,\, 0)$ — bir parabol

Türevler.

\mathbf{r}' = (1,\, 2t,\, 0), \quad \mathbf{r}'' = (0,\, 2,\, 0), \quad \mathbf{r}''' = (0,\, 0,\, 0)

Burulma.

\tau = \frac{(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2} = \frac{(\ldots)\cdot\mathbf{0}}{|\ldots|^2} = \frac{0}{|\ldots|^2} = 0

$\mathbf{r}''' = \mathbf{0}$ olduğu için pay sıfır, dolayısıyla $\tau = 0$. ✓ Parabol bir düzlemde yattığından burulma sıfır olmalıydı.

7. Özet Tablosu

İfade	Açıklama
$\tau = \dfrac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2}$	Genel hesaplama formülü
$d\mathbf{B}/ds = -\tau\mathbf{N}$	Tanımsal ilişki (Frenet–Serret)
$\tau = 0$	Eğri bir düzlem içinde (düzlemsel)
$\tau \neq 0$	Eğri gerçek anlamda uzayda burulur
Helis: $\tau = b/(a^2+b^2)$	$a$ = yarıçap, $b$ = adım parametresi
$\kappa$ ve $\tau$ birlikte	Eğriyi tamamen belirler (Temel Teorem)

📌 Özet

▪️ Burulma $\tau$, binormal vektörün yay uzunluğuna göre değişim hızıdır: $d\mathbf{B}/ds = -\tau\mathbf{N}$.

▪️ Pratik hesapta determinant formülü kullanılır: pay üçüncü türevi içerir, payda çapraz çarpımın büyüklüğünün karesidir.

▪️ $\tau = 0$ ↔ eğri düzlemsel; $\tau \neq 0$ ↔ eğri gerçek uzay eğrisi.

▪️ $\kappa$ ve $\tau$ birlikte Frenet–Serret çerçevesini tam olarak betimler.

← Vektör Değerli Fonksiyonlar