|
|
Matematiğin neresine bakarsanız bakın, derine indiğinizde
karşınıza tamsayılar ve onların kuramı olan sayılar kuramı çıkacak. Artı
işaretli tamsayılar, yâni 1, 2, 3, … diye giden doğal sayılar ve onları (aşağıda göreceğimiz
gibi) oluşturan asal sayılara etraflıca hele bir bakalım; neler yok neler
orada. Biliyorsunuz “asal sayı, p” başka doğal sayılarla tam olarak
bölünemeyen bir doğal sayıdır; ({p}= 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37,…). Bir eksen üzerinde sıfırdan sonsuza dek
giden doğal sayılar arasına serpiştirilmiş asal sayılar var. Daha baştan bu
asal sayıların gizemi insanı büyülüyor.
Birinci soru: p’lerden
kaç tane var? Belli bir adet mi, sonsuz tane mi? Asalların sonsuz adet olduğu
daha M.Ö. 300’de Öklid’ce ispatlanmıştı (çok önceki Sümerler de belki
biliyorlardı). Yakın zamana dek çeşitli ispatlar da yapıldı. [Bunların yedisi
için Bkz. Matematik
Dünyası, (Güz 2005 sayısı, sf.62-64 ve 2005-I sayısı, sf. 84)].
İkinci, ve
hâlâ cevabı bulunamamış soru:
Tamsayılar ekseni üzerinde asal sayıların dağılımı nedir? Doğal sayılar
arttıkça aralarında asallar belli bir kurala göre mi geliyorlar? Meselâ,
artarak giden asal sayıların 50. sini bulduğumuzda 51.,
52., vb. nin hangi asal sayılar olacağını önceden
kestirebilir miyiz? Peki bir dağılım/dizilim kuralı
bulamıyorsak, acaba dağılım matematik (ve fizik) anlamında rasgele
mi (yb. “random” mı)? Aradan 2300 veya fazla yıl geçmesine,
ve nice matematikçilerin uğraşmasına rağmen, bu paragrafımızdaki soruların
cevabı hâlâ “hayır” veya bilinmiyor.
1960’lara, yâni bilgisayar çağına kadar bilinen en
büyük asal sayıyı bulmak gazete haberi oluyordu, ama artık, hesapların büyük
olmasına rağmen bu, havadis sayılmıyor. Çok büyük bilgisayarlarla, deneye
sınaya, milyarlarca asal sayı bulundu. Ama hâlâ asal sayıların
dağılım/dizilim kuralı bulunamadı. Bu, riyâziyenin
çözülememiş en temel ve en büyük meselesi olmaya devam ediyor. Kesin sonuca,
keskin bir ‘anasav’a (teoreme) ulaşılamadıysa da
bilinen bazı şeyler var: Euler’in, Gauss’un
buldukları ve Riemann’ın 150 yıldır ispatlanamamış,
ama çürütülememiş de olan varsayımı (yb. “hipotezi”). Riemann Varsayımı’nı ispatlayabilene Clay
Vakfı’nın koyduğu bir milyon dolarlık ödül duruyor. [Gerçi böyle derin matematikler,
para düşünerek yapılamaz; ancak âdetâ tasavvufî
olan büyük bir matematik aşkı, tutkusuyla olur.]
Doğal sayılar iki çeşit:
i) Asallar,
ii)
Asal olmayanlar ki, bunlara ‘bileşik’ sayılar da diyebiliriz, çünkü, Eski Çağ’dan beri bilindiği üzere asal olmayan
herhangi bir doğal sayı yalnızca tek bir biçimde, belirli asalların
çarpımından ibârettir. Örn. 720 sayısı 4 adet 2,
iki adet 3, ve bir tane 5’in çarpımından oluşur, yâni 720 = 24 x 32 x 5. (Sâdece
bu asal çarpanlar ‘bileşik sayı’ 720’yi verir.) Bu, “aritmetiğin temel ‘anasav’ı (teoremi)”. Bazıları, kimyaya
teşbihle, asal sayıları ögeciklere (atomlara),
bileşik doğal sayıları ise özdeciklere (moleküllere) benzetiyorlar; şu farkla
ki kararlı ögecik cinsinden 92 adet (çabuk bozunur,
yapaylarıyla birlikte 105 kadar) var, asal sayılar ise sonsuz miktarda. [Benim yeni nicem (kuvantum) kimyası (VIF) kuramımla kimyaya bakılırsa,
teşbihin daha da ayrıntılı (ve sayılar kuramına dayanacak) olması muhtemel.
(Bkz. E. Çaykara’nın “Oktay Sinanoğlu kitabı”(T. İş
Bankası Kültür Yayınevi, İst., 25.baskı 2006))]
Asalların dağılımı/dizilimi hakkında bazı bilinenler: a) 2 ve 3 hâriç asallar birbirine komşu olmazlar. Ama, aralarında tek bir bileşik sayı olan asal sayı
çiftlerinden sonsuz adet çift olduğu sanılıyor. Bu, “ikiz asal varsayımı”nın da henüz ispatı
yok. b)
Sayılar büyüdükçe asallar-arası asalsız boşluk da büyüyor. c) Gelelim C.F.
Gauss’un buluşuna:
1801’de Gauss dedi ki, asalların dağılımını bilmesek de, belli bir doğal sayı
(n)’e kadar kaç adet asal olacağını bulalım. Ve şu formülü sayılara bakarak
buldu: n? p asalları sayısı, n
sonsuza yaklaşırken (n/ ln n) ‘e yaklaşır. (Burada (ln)
, e= 2.718… tabanlı logaritma) [‘logaritma’
lâfı ise büyük Türk matematikçisi, cebiri keşfeden , Türkistanlı (Harzemli)
Harezmî’nin adının Batı’daki bozuk telâffuzundan geliyor].
Dolayısıyla n büyüdükçe asallar sayısı, (n)’e nispetle azalır, ama hiçbir
zaman sıfır olmaz.
Gauss’un formülü bir tahmindi, ama 100 yıl sonra Hadamard
ve de ayrıca C. de la
Vallée-Poussin
tarafından ispatlanıp “asalların
sayısı anasavı (teoremi)” adını
aldı. Tabii gene de formül ancak n
sonsuza yaklaştıkça doğru. Herhangi bir (n)’de
belli bir yüzde hâtâ var. Bu iş fen veya
mühendislik olsa uygulamada idâre edebilir, ama saf
matematikte kesin ispatlar, kesin anasavlar olmalı.
Ve 150 yıl önce Riemann bu hâtâ
miktarını kesinkes bulmağa karar verdi, çünkü öyle bir sonuç, asallar çok
temel nesneler olduklarından, matematiğin birçok dalını da etkileyecekti. (n) bir milyon, milyar
mertebesine vardığında Gauss’un formülü %3 hâtâ
veriyor. Riemann önce bu hâtâyı
düşürdü, hattâ %1’in çok altına. Ama hâlâ kesin bir
sonuç, temel bir anasav yoktu. Derken, Riemann, çok önceki ve çok ilginç Euler’in
bir formülünü karmaşık sayılara genişleterek “Riemann Varsayımı”nı
ortaya attı, hâlâ ispatlanamamış büyük varsayım, matematiğin çeşitli dalları,
şimdi de kuramsal fiziğin temelleri içinde önemli hâle gelmiş varsayım.
Varsayımın ispatı için günümüzde bambaşka, değişik yönlerden uğraşılıyor.
Yaklaşımları, durumu, varsayımın içeriğini bir dahaki yazımda ele alacağım
inşallah.
|